Линейных алгебраических групп арифметическая теория

- теория, изучающая арифметич. свойства линейных алгебраических групп, определенных, как правило, над глобальным полем. Одним из главных объектов изучения Л. а. г. а. т. являются арифметич. подгруппы алгебраич. группы G(см. Арифметическая группа), а одним из основных технич. инструментов - группа аделей С A. На GA можно определить нек-рым естественным образом меру, наз. Тамагавы мерой. Один из первых возникающих здесь вопросов: когда объем факторпространства группы GA по подгруппе главных аделей GA конечен? Полный ответ на него был получен А. Борелем (А. Воrel). Оказалось, напр., что объем [img: http://localhost:8080/file/031321-125.jpg] всегда конечен для полупростой группы. Решению этого вопроса предшествовало построение теории приведения для арифметич. групп (см. [5], [6]). Используя теорию приведения для подгрупп главных аделей, удалось во многих случаях вычислить объем [img: http://localhost:8080/file/031321-126.jpg] к-рый наз. числом Тамагавы группы G. Напр., для ортогональной группы G число Тамагавы F(G) = 2, и это фактически эквивалентно основному результату аналитич. теории квадратичных форм (см. [1]). Изучение структуры арифметич. групп (начатое в [6]) было продолжено затем в разных направлениях. Прежде всего следует отметить исследования по конгруэнц-проблеме, по проблеме максимальности арифметич. подгрупп и проблеме рода в арифметич. группах. Во всех основных вопросах Л. а. г. а. т. существенную роль играют теоремы аппроксимации, редуцирующие исследование арифметич. свойств алгебраич. групп, определенных над глобальными полями к исследованию арифметич. свойств алгебраич. групп, определенных над локальными полями. Наибольшее значение имеет проблема сильной аппроксимации (п. с. а.) в алгебраич. группах, к-рая состоит в следующем. Пусть V={v} - множество всех неэквивалентных нормировании поля k; kv - пополнение kотносительно v; Ov - кольцо целых элементов [img: http://localhost:8080/file/031321-127.jpg] - максимальный идеал Ov. Для произвольного конечного подмножества [img: http://localhost:8080/file/031321-128.jpg] через GS обозначается подгруппа в GA; у к-рой все v-компоненты при [img: http://localhost:8080/file/031321-129.jpg] равны единице. Спрашивается: когда [img: http://localhost:8080/file/031321-130.jpg] (Здесь черта означает замыкание в топологии GA.).Если [img: http://localhost:8080/file/031321-131.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/031321-132.jpg] - множество всех архимедовых нормировании k), то эквивалентная формулировка этой проблемы: когда для любых [img: http://localhost:8080/file/031321-133.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031321-134.jpg] любых [img: http://localhost:8080/file/031321-135.jpg] и положительных целых [img: http://localhost:8080/file/031321-136.jpg] имеет решение в группе Gk система сравнений [img: http://localhost:8080/file/031321-137.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031321-138.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/031321-139.jpg] М. Эйхлер [13] решил проблему сильной аппроксимации для групп SL(n, D), где D - тело конечного k-ранга. Позднее различные частные случаи этой проблемы исследовали М. Кнезер (М. Kneser), Г. Шимура (G. Shimura), А. Вейль (A. Well, см. [4]). Проблема сильной аппроксимации была решена (см. [9], [10]) для классич. групп над числовыми полями и найдены необходимые условия для ее положительного решения в общем случае; а именно: а) группа Gдолжна быть односвязной как алгебраич. группа и б) если F - любая простая компонента полупростой части G, то группа FS должна быть некомпактной. Необходимость этих условий доказана [14] для функционального поля. Наконец, была доказана [7] (см. также [16]) достаточность условий а) и б) как над числовыми, так и над функциональными полями, что дало полное решение п. с. а. В основе метода доказательства лежит редукция п. с. а. к доказательству Кнезера - Титса гипотезы о строении односвязных групп над локальными полями: если Gесть kv -простая односвязная kv -изотропная группа, то [img: http://localhost:8080/file/031321-140.jpg] порождается унипотентными элементами или, эквивалентно, факторгруппа группы [img: http://localhost:8080/file/031321-141.jpg] по ее центру проста в абстрактном смысле. В качестве простейшего применения сильной аппроксимационной теоремы получается следующий факт: пусть Gобладает свойством сильной аппроксимации относительно [img: http://localhost:8080/file/031321-142.jpg] если О - кольцо целых элементов k, то [img: http://localhost:8080/file/031321-143.jpg] это показывает, что арифметика G0 в значительной степени определяется арифметикой локальных компонент [img: http://localhost:8080/file/031321-144.jpg] Наряду с сильной аппроксимацией существенную роль в Л. а. г. а. т. играет свойство слабой аппроксимации (с. с. а.) алгебраич. группы G относительно S, к-рое состоит в том, что образ G л, при канонич. проекции [img: http://localhost:8080/file/031321-145.jpg] плотен в GS. Все односвязные группы обладают с. с. а. С другой стороны, имеются примеры полупростых групп и алгебраич. торов, не обладающих с. с. а. (см. [11], [2]). Тем не менее для широкого класса неодносвязных полупростых групп, в частности для присоединенных групп, выполнено с. с. а. [12]. Если G - алгебраич. тор и для всякого [img: http://localhost:8080/file/031321-146.jpg] тор G разложим над циклич. расширением поля kv, то G обладает с. с. а. относительно S. В нек-рых случаях с. с. а. выполнено для алгебраич. групп над произвольным полем (см. [11]). Существовала гипотеза (см. [11]), что с. с. а. выполнено для группы SL (n, D), где D - тело конечного k-ранга над произвольным бесконечным полем k. Однако развитие приведенной K-теории привело к отрицательному ответу (см. [15]): для группы SL(n, D).отклонение от слабой аппроксимации может быть сколь угодно большим. Важную роль в Л. а. г. а. т. играют когомологич. методы, в частности принцип Хассе (см. Галуа когомологии).