Лиувилля теорема

- 1) Л. т. об ограниченных целых аналитических функциях: если целая функция f(z) комплексных переменных z=(z1..., zn) ограничена, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031323-17.jpg] то f(z) есть константа. Это предложение, одно из основных в теории аналитич. функций, впервые, по-видимому, опубликовано в 1844 О. Коши [1] для случая n=1; Ж. Лиувилль (J. Liouville) излагал его на лекциях в 1847, откуда и произошло название. Л. т. допускает обобщения в различных направлениях. Напр., если f(z) - целая функция в [img: http://localhost:8080/file/031323-18.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031323-19.jpg] для нек-рого целого [img: http://localhost:8080/file/031323-20.jpg] то f(z) есть многочлен по переменным (z1..., zn) степени не выше те. Далее, если и(х) - действительная гармонич. функция во всем числовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/031323-21.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031323-22.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031323-23.jpg] то и(х). есть гармонич. многочлен по переменным (x1..., xn) степени не выше т(см. также [4]). 2) Л. т. о конформных отображениях: всякое конформное отображение области евклидова пространства Е n при [img: http://localhost:8080/file/031323-24.jpg] можно представить в виде конечного числа суперпозиций простейших отображений четырех видов - переноса, подобия, ортогонального преобразования и инверсии. Доказана Ж. Лиувиллем в 1850 (см. [2] добавление 6). Эта Л. т. выявляет бедность класса конформных отображений в пространстве, и с этой точки зрения она весьма важна в теории аналитич. функций многих комплексных переменных и в теории квазиконформных отображений.