Ли алгебраическая алгебра

- 1) Алгебра Ли алгебраич. подгруппы (см. Алгебраическая группа).полной линейной группы, всех автоморфизмов конечномерного векторного пространства Vнад полем k. Если [img: http://localhost:8080/file/031308-155.jpg] - произвольная подалгебра в алгебре Ли всех эндоморфизмов V, то существует наименьшая Ли а. а., содержащая [img: http://localhost:8080/file/031308-156.jpg] она наз. алгебраической оболочкой подалгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/031308-157.jpg] Для алгебраичности алгебры Лн [img: http://localhost:8080/file/031308-158.jpg] над произвольным алгебраически замкнутым полем kнеобходимо, чтобы вместе с каждым линейным оператором [img: http://localhost:8080/file/031308-159.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031308-160.jpg] лежали его полупростая и нильпотентная компоненты sи п(см. Жордана разложение). Это условие определяет т. н. почти алгебраические алгебры Ли. Оно не является достаточным для того, чтобы [img: http://localhost:8080/file/031308-161.jpg] была Ли а. а. В случае поля kхарактеристики 0 необходимое и достаточное условие алгебраичности алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/031308-162.jpg] состоит в том, что вместе с га и [img: http://localhost:8080/file/031308-163.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031308-164.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031308-165.jpg] лежат все операторы вида [img: http://localhost:8080/file/031308-166.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031308-167.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031308-168.jpg] - произвольное [img: http://localhost:8080/file/031308-169.jpg] -линейное отображение из kв k. Исследовано [3] строение Ли а. а. в случае поля характеристики р> 0. 2) Алгебра Ли Lнад коммутативным кольцом k, в к-рой для любого элемента [img: http://localhost:8080/file/031308-170.jpg] -эндоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031308-171.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031308-172.jpg] заданный на L, является корнем нек-рого многочлена со старшим коэффициентом 1 и остальными коэффициентами из k. Конечномерная над полем kалгебра Ли является Ли а. а. Обратное неверно: над любым полем kсуществуют бесконечномерные Ли а. а. с конечным числом порождающих [4]. Ряд вопросов о Ли а. а. получает решение уже в классе Ли нильалгебр.