Ли банахова группа

- множество G, снабженное одновременно структурой группы и структурой аналитич. анахова многообразия; эти две структуры согласованы в следующем смысле: отображение [img: http://localhost:8080/file/031308-173.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031308-174.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/031308-175.jpg] в G является аналитическим. В случае, если банахово многообразие конечномерно, это понятие совпадает с обычным понятием группы Ли. Примеры. Банахово пространство с операцией сложения, множество А* обратимых элементов в банаховой алгебре Ас операцией умножения, множество Ck(M, G) k -гладких функций на гладком многообразии со значениями в группе Ли Gс операцией поточечного умножения являются Ли б. г. С другой стороны, множество [img: http://localhost:8080/file/031308-176.jpg] k-гладких взаимно однозначных отображений гладкого многообразия Мна себя не является Ли б. г.: естественные структуры банахова многообразия и группы (относительно операции композиции) в этом случае не согласованы. Для Ли б. г. остаются справедливыми нек-рые основные теоремы теории групп Ли: каждой Ли б. г. соответствует банахова алгебра Ли, по к-рой, в свою очередь, восстанавливается локальная Ли б. г. Известно, однако, что не всякая локальная Ли б. г. продолжается до глобальной [2]; окрестность единицы в Ли б. г. покрывается образом экспоненциального отображения; имеется соответствие между связными замкнутыми подгруппами Ли б. г. и замкнутыми подалгебрами соответствующей алгебры Ли. Имеются различные обобщения понятия Ли б. г. (см. [3]), в к-рых структура банахова пространства заменяется структурой линейного топологич. пространства более общего типа.