Ли группа преобразований

гладкое действие связной группы Ли Gна гладком многообразии М, т. е. гладкое (класса [img: http://localhost:8080/file/031309-143.jpg]) отображение. [img: http://localhost:8080/file/031309-144.jpg] такое, что: [img: http://localhost:8080/file/031309-145.jpg] (е- единица группы G). Ли г. п., удовлетворяющая также условию: [img: http://localhost:8080/file/031309-146.jpg] наз. эффективной. Примеры Ли г. п. Любое гладкое линейное представление группы Ли Gв конечномерном векторном пространстве М;действие группы Ли Gна себе с помощью левых или правых сдвигов A(g, m) = gm или [img: http://localhost:8080/file/031309-147.jpg] соответственно [img: http://localhost:8080/file/031309-148.jpg] действие группы Ли Gна себе с помощью внутренних автоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/031309-149.jpg] одно параметрическая группа преобразований, т. е. гладкое действие группы [img: http://localhost:8080/file/031309-150.jpg] на многообразии М. Наряду с определенными выше глобальными Ли г. п. рассматриваются также локальные Ли г. п., являвшиеся основным объектом классич. теории групп Ли [1]. При этом вместо Gрассматривается локальная группа Ли, т. е. окрестность Uединицы в нек-рой группе [img: http://localhost:8080/file/031309-151.jpg] Ли, а вместо М - открытое подмножество Если G - Ли г. п. на М, то, выбрав подходящие окрестность [img: http://localhost:8080/file/031309-152.jpg] в G и открытое подмножество [img: http://localhost:8080/file/031309-153.jpg] получают локальную Ли г. п. Обратный переход - от локальной Ли г. п. к глобальной (глобализация) - возможен не всегда. Однако если [img: http://localhost:8080/file/031309-154.jpg] и Wдостаточно мало, то глобализация возможна (см. [2].). Иногда рассматриваются Ли г. п. класса [img: http://localhost:8080/file/031309-155.jpg] или С w (аналитические), т. е. предполагается принадлежность отображения Асоответствующему классу. Если Анепрерывно, то для его принадлежности классу Ck или С w достаточно, чтобы для любого [img: http://localhost:8080/file/031309-156.jpg] преобразование [img: http://localhost:8080/file/031309-157.jpg] многообразия Мпринадлежало этому классу (см. [3]). В частности, задание Ли г. п. G на М эквивалентно заданию непрерывного гомоморфизма [img: http://localhost:8080/file/031309-158.jpg] в группу Diff Mдиффеоморфизмов многообразия М, снабженную естественной топологией. Любой Ли г. п. соответствует гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031309-159.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031309-160.jpg] алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/031309-161.jpg] группы Gв алгебру Ли Ф (М).гладких векторных полей на М, сопоставляющий элементу [img: http://localhost:8080/file/031309-162.jpg] поле скоростей однопараметрич. группы преобразований [img: http://localhost:8080/file/031309-163.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031309-164.jpg] - экспоненциальное отображение (см. [5]). Если Gэффективна, то гомоморфизм А * инъективен. Для связной группы Gгомоморфизм А * полностью определяет Ли г. п. Обратно, любому гомоморфизму [img: http://localhost:8080/file/031309-165.jpg] отвечает локальная Ли г. п. [6]. Если все векторные поля из [img: http://localhost:8080/file/031309-166.jpg] полны (т. е. их интегральные кривые x(t).определены для всех t), то существует глобальная Ли г. п. Gна М, для к-рой [img: http://localhost:8080/file/031309-167.jpg] Достаточно потребовать, чтобы [img: http://localhost:8080/file/031309-168.jpg] как алгебра Ли порождалась полными векторными полями; условие полноты автоматически выполнено, если Мкомпактно [4]. Если G - Ли г. п. многообразия М, то стационарная подгруппа [img: http://localhost:8080/file/031309-169.jpg] для любой точки [img: http://localhost:8080/file/031309-170.jpg] является замкнутой подгруппой Ли в G; ее называют также стабилизатором, или подгруппой изотропии, точки т. Соответствующая подалгебра Ли [img: http://localhost:8080/file/031309-171.jpg] состоит из всех таких [img: http://localhost:8080/file/031309-172.jpg] что А * (Х) т=0. Подалгебра [img: http://localhost:8080/file/031309-173.jpg] непрерывно зависит от тв естественной топологии на множестве всех подалгебр в g [7]. Орбита [img: http://localhost:8080/file/031309-174.jpg] точки тявляется погруженным подмногообразием в М, диффеоморфным G/Gm. Если G компактна, то все орбиты являются компактными вложенными подмногообразиями. Примеры невложенных орбит дает действие группы [img: http://localhost:8080/file/031309-175.jpg] на торе [img: http://localhost:8080/file/031309-176.jpg] заданное формулой [img: http://localhost:8080/file/031309-177.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031309-178.jpg] __ иррационально. Ли г. п. [img: http://localhost:8080/file/031309-179.jpg] наз. подобными, если существует такой диффеоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031309-180.jpg] что. [img: http://localhost:8080/file/031309-181.jpg] Важной задачей теории групп преобразований является задача классификации Ли г. п. с точностью до подобия. В настоящее время (1982) она решена лишь в нек-рых частных случаях. Еще С. Ли [1] дал классификацию локальных Ли г. п. в областях пространства [img: http://localhost:8080/file/031309-182.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031309-183.jpg] с точностью до локального подобия. Частичная классификация проведена для Ли г. п. на трехмерных многообразиях. Хорошо изучены также компактные Ли г. п. О транзитивных Ли г. п. см. Однородное пространство.