Ли локальная группа

аналитическая локальная группа,- аналитическое многообразие Gнад полем k, полным относительно нек-рого нетривиального абсолютного значения, снабженное отмеченным элементом е(единицей), открытым подмножеством [img: http://localhost:8080/file/031310-111.jpg] и парой аналитич. отображений [img: http://localhost:8080/file/031310-112.jpg] многообразия [img: http://localhost:8080/file/031310-113.jpg] окрестности Uв себя, для которых: 1) в некоторой окрестности точки евыполняется тождество ge=eg; 2) в некоторой окрестности точки евыполняется тождество [img: http://localhost:8080/file/031310-114.jpg] 3,) для некоторой окрестности [img: http://localhost:8080/file/031310-115.jpg] точки евыполняется включение [img: http://localhost:8080/file/031310-116.jpg] причем g(hr)=(gh)r, где g, h, r - любые элементы из V. Ли л. г. впервые появились в трудах С. Ли (S. Lie) и его школы (см. [1]) как локальные Ли, группы преобразований. Пусть G1 и G2- две Ли л. г. с единицами е 1 н е 2 соответственно. Локальным гомоморфизмом G1 в G2 (обозначается [img: http://localhost:8080/file/031310-117.jpg]) наз. аналитич. отображение [img: http://localhost:8080/file/031310-118.jpg] нек-рой окрестности [img: http://localhost:8080/file/031310-119.jpg] в G1, для к-рого f(e1)=e2 и f(gh)=f(g)f(h).для g, h из нек-рой окрестности [img: http://localhost:8080/file/031310-120.jpg] точки е 1. Определяемая естественным образом композиция локальных гомоморфизмов также есть локальный гомоморфизм. Локальные гомоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/031310-121.jpg] совпадающие в нек-рой окрестности точки е 1 наз. эквивалентными. Если существуют такие локальные гомоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/031310-122.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031310-123.jpg] что композиции [img: http://localhost:8080/file/031310-124.jpg] эквивалентны тождественным отображениям, то Ли л. г. G1 и G2 наз. эквивалентными. Пример. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031310-125.jpg] - аналитич. руппа с единицей е к G - открытая окрестность точки ев [img: http://localhost:8080/file/031310-126.jpg] Тогда аналитич. структура на [img: http://localhost:8080/file/031310-127.jpg] индуцирует аналитич. структуру на G, причем операции умножения и взятия обратного элемента в [img: http://localhost:8080/file/031310-128.jpg] превращают G в Ли л. г. (в частности, сама [img: http://localhost:8080/file/031310-129.jpg] может рассматриваться как Ли л. г.). Все Ли л. г. G, получаемые таким способом из фиксированной аналитич. руппы [img: http://localhost:8080/file/031310-130.jpg] эквивалентны между собой. Один из принципиальных вопросов теории групп Ли состоит в том, насколько общий характер имеет приведенный выше пример, т. е. будет ли всякая Ли л. г. (с точностью до эквивалентности) окрестностью нек-рой аналитич. руппы. Ответ на этот вопрос положителен (см. [2], [3], [4]), в случае банаховых Ли л. г. ответ отрицателен (см. [4J). Важнейшим средством изучения Ли л. [img: http://localhost:8080/file/031310-133.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031310-134.jpg] - соответственно координаты точек [img: http://localhost:8080/file/031310-135.jpg] В достаточно малой окрестности нуля функция fi представляется в виде суммы сходящегося степенного ряда (также обозначаемого далее через fi), а наличие в Uединицы и ассоциативного закона выражается следующими свойствами этих рядов, рассматриваемых как формальные степенные ряды от 2n переменных: [img: http://localhost:8080/file/031310-136.jpg] Свойства а) н о) означают, что система формальных степенных рядов [img: http://localhost:8080/file/031310-137.jpg] является формальной группой. В частности, однородная компонента степени 2 каждого из рядов fi является билинейной формой на kn, т. е. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031310-138.jpg] что позволяет определить на kn умножение [, ] по правилу: [img: http://localhost:8080/file/031310-139.jpg] Относительно этого умножения kn является алгеброй Ли. Указанная структура алгебры Ли переносится в касательное пространство [img: http://localhost:8080/file/031310-140.jpg] к многообразию G в точке ес помощью определенного картой с изоморфизма [img: http://localhost:8080/file/031310-141.jpg] Формальные группы Fc и Fc', определенные разными картами, изоморфны, а указанная структура алгебры Ли на [img: http://localhost:8080/file/031310-142.jpg] не зависит от выбора карты с. Алгебра Ли [img: http://localhost:8080/file/031310-143.jpg] наз. алгеброй Ли локальной группы Л и. Для любого локального гомоморфизма Ли л. г. его дифференциал в единице является гомоморфизмом алгебр Ли, откуда следует, что сопоставление Ли л. г. ее алгебры Ли является функториальным. В частности, эквивалентные Ли л. г. имеют изоморфные алгебры Ли. Если поле kимеет характеристику 0, указанная выше конструкция, восходящая к С. Ли [1], позволяет свести изучение свойств Ли л. г. к изучению соответствующих свойств их алгебр Ли. В этом случае алгебра Ли g определяет Ли л. г. G однозначно с точностью до эквивалентности. А именно, карта сможет быть выбрана так, что произведение ху в Ли л. г. Uвыражается в виде нек-рого сходящегося ряда (т. н. ряда Кэмпбелла - Хаусдорфа) от элементов пространства kn, полученных из х к у с помощью операции коммутирования [, ] и умножения на элементы из k(см. Кэмпбелла - Хаусдорфа формула). Обратно, для произвольной конечномерной алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/031310-144.jpg] над kряд Кэмпбелла - Хаусдорфа сходится в нек-рой окрестности нуля в [img: http://localhost:8080/file/031310-145.jpg] и определяет в этой окрестности структуру Ли л. г. с алгеброй Ли [img: http://localhost:8080/file/031310-146.jpg] Таким образом, для любой заданной алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/031310-147.jpg] существует единственная с точностью до эквивалентности Ли л. г., алгеброй Ли к-рой является [img: http://localhost:8080/file/031310-148.jpg] Более того, всякий гомоморфизм алгебр Ли индуцирован нек-рым единственным гомоморфизмом соответствующих Ли л. г. Иначе говоря, сопоставление Ли л. г. ее алгебры Ли определяет эквивалентность категории Ли л. г. и категории конечномерных алгебр Ли над k. Кроме того, сопоставление Ли л. г. соответствующей формальной группы определяет эквивалентность категории Ли л. г. и категории формальных групп над k. Алгебра Ли может быть определена и для любой банаховой Ли л. г.; основной результат об эквивалентности категорий Ли л. г. и алгебр Ли обобщается на этот случай (см. [2]).