Ли нильпотентная группа

группа Ли, пильпотентная как абстрактная группа. Абелева группа Ли нильпотентна. Если [img: http://localhost:8080/file/031311-9.jpg] - флаг в конечномерном векторном пространстве Vнад полем К, то [img: http://localhost:8080/file/031311-10.jpg] будет нильпотентной алгебраич. группой над А; в базисе, согласованном с флагом F, ее элементы представляются верхними треугольными матрицами с единицами на главной диагонали. Если F - полный флаг (т. е. dim Vk = k), то соответствующая N(F).матричная Ли н. г. N(п, k).состоит из всех матриц порядка n=dim Vуказанного выше вида. Если К - полное нормированное поле, то N(F) - Ли н. г. над К. Ее алгеброй Ли служит [img: http://localhost:8080/file/031311-11.jpg] (см. Ли нильпотентная алгебра). Вообще, алгебра Ли группы Ли G над полем Кхарактеристики 0 нильпотентна тогда и только тогда, когда нильпотентна связная компонента единицы G0 группы G. Это позволяет перенести на Ли н. г. свойства нильпотентных алгебр Ли (см. [2], [4], [5]). Групповой вариант теоремы Энгеля при этом допускает следующее усиление (теорема К о л ч и н а): если G - подгруппа в GL(V), где V - конечномерное векторное пространство над произвольным полем К, а каждый [img: http://localhost:8080/file/031311-12.jpg] унипотентен, то существует такой полный флаг Fв F, что [img: http://localhost:8080/file/031311-13.jpg] (при этом Gавтоматически оказывается нильпотентной) (см. [3]). Ли н. г., разрешимы, поэтому свойства Ли разрешимых групп переносятся и на них, причем часто в усиленной форме, ибо всякая Ли н. г. треугольна. Связная группа Ли G нильпотентна тогда и только тогда, когда в канонич. координатах (см. Ли группа).групповая операция в Gзаписывается полиномиально [4]. Всякая односвязная вещественная Ли н. г. Gизоморфна алгебраич. группе, более того - алгебраич. подгруппе в [img: http://localhost:8080/file/031311-14.jpg] При этом точное представление группы G в [img: http://localhost:8080/file/031311-15.jpg] можно выбрать так, чтобы группа автоморфизмов Aut G вкладывалась в [img: http://localhost:8080/file/031311-16.jpg] - нормализатор образа группы G [см. [1]). Если G - связная матричная вещественная Ли н. г., то она разлагается в прямое произведение компактной абелевой и односвязной групп Ли. Связная линейная алгебраич. группа G над полем характеристики 0 разлагается в прямое произведение абелева нормального делителя, состоящего из полупростых элементов, и нормального делителя, состоящего из унипотентных элементов [5]. Ранее Ли н. г. наз. специальными группами Ли, или группами Ли ранга 0. В теории представлений полупростых групп Ли при изучении дискретных подгрупп в таких группах существенно используются орисферич. группы Ли, являющиеся Ли н. г.