Ли полупростая алгебра

- алгебра Ли, не имеющая ненулевых разрешимых идеалов (см. Ли разрешимая алгебра). В дальнейшем рассматриваются конечномерные Ли п. а. над полем kхарактеристики 0 (о Лн п. а. над полем ненулевой характеристики см. Ли алгебра). Полупростота конечномерной алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/031311-18.jpg] равносильна выполнению любого из следующих условий: 1) [img: http://localhost:8080/file/031311-19.jpg] не содержит ненулевых абелевых идеалов; 2) Киллинга форма алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-20.jpg] невырождена (к р и т е р и й К а р т а н а); 3) [img: http://localhost:8080/file/031311-21.jpg] разлагается в прямую сумму неабелевых простых идеалов; 4) всякое конечномерное линейное представление алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-22.jpg] вполне приводимо (иначе: всякий конечномерный [img: http://localhost:8080/file/031311-23.jpg] -модуль полупрост); 5) одномерные когомолопш алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-24.jpg] со значениями в любом конечномерном [img: http://localhost:8080/file/031311-25.jpg] -модуле тривиальны. Любой идеал и любая факторалгебра Ли п. а. также полупросты. Разложение Ли п. а., указанное в условии 3), единственно. Частным случаем свойства 5) является следующее утверждение: все дифференцирования Ли п. а. являются внутренними. Свойство полупростоты алгебры Ли сохраняется как при расширении, так и при сужении основного поля. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031311-26.jpg] - Ли п. а. над алгебраически замкнутым полем k. Присоединенное представление изоморфно отображает алгебру [img: http://localhost:8080/file/031311-27.jpg] на линейную алгебру Ли [img: http://localhost:8080/file/031311-28.jpg] к-рая является алгеброй Ли алгебраич. группы [img: http://localhost:8080/file/031311-29.jpg] всех автоморфизмов алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-30.jpg] и тем самым Ли алгебраической алгеброй. Элемент [img: http://localhost:8080/file/031311-31.jpg] наз. полупростым (н и л ь п о т е н т н ы м), если ad X полупрост (соответственно нильпотентен). Это свойство элемента Xсохраняется при любом гомоморфизме алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-32.jpg] в другую Ли п. а. Связная компонента единицы [img: http://localhost:8080/file/031311-33.jpg] совпадает с группой внутренних автоморфизмов алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-34.jpg] т. [img: http://localhost:8080/file/031311-35.jpg] е. порождается автоморфизмами вида exp (ad X), При изучении Ли п. а. над алгебраически замкнутым полем kсущественную роль играют корни Ли п. а., к-рые определяются следующим образом. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031311-36.jpg] - подалгебра Картана алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-37.jpg] Для ненулевой линейной функции [img: http://localhost:8080/file/031311-38.jpg] через [img: http://localhost:8080/file/031311-39.jpg] обозначается линейное подпространство в [img: http://localhost:8080/file/031311-40.jpg] заданное условием: [img: http://localhost:8080/file/031311-41.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031311-42.jpg] то а наз. корнем алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-43.jpg] относительно [img: http://localhost:8080/file/031311-44.jpg] Множество [img: http://localhost:8080/file/031311-45.jpg] всех ненулевых корней наз. корневой системой, или системой корней, алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-46.jpg] Имеет место корневое разложение: [img: http://localhost:8080/file/031311-47.jpg] Корневая система и корневое разложение Ли п. а. обладают следующими свойствами: 1) [img: http://localhost:8080/file/031311-48.jpg] порождает [img: http://localhost:8080/file/031311-49.jpg] и является приведенной корневой системой в абстрактном смысле (в линейной оболочке системы [img: http://localhost:8080/file/031311-50.jpg] над полем действительных чисел). Система [img: http://localhost:8080/file/031311-51.jpg] неприводима тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031311-52.jpg] проста. 2) Для любого [img: http://localhost:8080/file/031311-53.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031311-54.jpg] Существует единственный элемент [img: http://localhost:8080/file/031311-55.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/031311-56.jpg] 3) Для каждого ненулевого [img: http://localhost:8080/file/031311-57.jpg] существует единственный [img: http://localhost:8080/file/031311-58.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/031311-59.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031311-60.jpg] Кроме того, [img: http://localhost:8080/file/031311-61.jpg] где (,) - скалярное произведение, индуцированное формой Киллинга. 4) Если [img: http://localhost:8080/file/031311-62.jpg] ортогональны относительно формы Кпллинга и [img: http://localhost:8080/file/031311-63.jpg] Базис [img: http://localhost:8080/file/031311-64.jpg] корневой системы [img: http://localhost:8080/file/031311-65.jpg] наз. также системой простых корней алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-66.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031311-67.jpg] - система положительных корней относительно данного базиса и пусть [img: http://localhost:8080/file/031311-68.jpg] Тогда элементы [img: http://localhost:8080/file/031311-69.jpg] составляют базис алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-70.jpg] наз. базисом К а р т а н а. С другой стороны, элементы [img: http://localhost:8080/file/031311-71.jpg] составляют систему образующих алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-72.jpg] причем определяющие соотношения имеют следующий вид: [img: http://localhost:8080/file/031311-73.jpg] Из свойства 4) следует равенство [img: http://localhost:8080/file/031311-74.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031311-75.jpg] Элементы [img: http://localhost:8080/file/031311-76.jpg] можно выбрать таким образом, чтобы [img: http://localhost:8080/file/031311-77.jpg] где р - наибольшее целое число такое, что [img: http://localhost:8080/file/031311-78.jpg] Соответствующий базис Картана наз. базисом Ш е в а л л е. Структурные константы алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-79.jpg] в этом базисе являются целыми, что позволяет связать с [img: http://localhost:8080/file/031311-80.jpg] алгебры Ли и алгебраич. группы (см. Шевалле группа).над полями произвольной характеристики. Если [img: http://localhost:8080/file/031311-81.jpg] то линейная оболочка над [img: http://localhost:8080/file/031311-82.jpg] векторов [img: http://localhost:8080/file/031311-83.jpg] является компактной вещественной формой алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-84.jpg] Ли п. а. определяется с точностью до изоморфизма своей подалгеброй Картана и соответствующей корневой системой. Точнее, если [img: http://localhost:8080/file/031311-85.jpg] - Ли п. а. над k, [img: http://localhost:8080/file/031311-86.jpg] - их подалгебры Картана, [img: http://localhost:8080/file/031311-87.jpg] - соответствующие корневые системы, то всякий изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031311-88.jpg] индуцирующий изоморфизм корневых систем [img: http://localhost:8080/file/031311-89.jpg] продолжается до изоморфизма [img: http://localhost:8080/file/031311-90.jpg] С другой стороны, любая приведенная корневая система может быть реализована как корневая система нек-рой Ли п. а. Таким образом, классификация Ли п. а. (соответственно простых неабелевых алгебр Ли) над алгебраически замкнутым полем kпо существу совпадает с классификацией приведенных корневых систем (соответственно неприводимых приведенных корневых систем). Простые алгебры Ли, отвечающие корневым системам типов А - D, наз. классическими и имеют следующий вид. Тип [img: http://localhost:8080/file/031311-91.jpg] - алгебра линейных преобразований пространства kn+1 со следом 0; [img: http://localhost:8080/file/031311-92.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031311-93.jpg] Тип [img: http://localhost:8080/file/031311-94.jpg] - алгебра линейных преобразований пространства k2n+1, кососимметрических относительно заданной невырожденной симметрической билинейной формы; [img: http://localhost:8080/file/031311-95.jpg] Тип [img: http://localhost:8080/file/031311-96.jpg] - алгебра линейных преобразований пространства k2n, кососимметрических относительно заданной невырожденной кососимметрической билинейной формы; [img: http://localhost:8080/file/031311-97.jpg] Тип [img: http://localhost:8080/file/031311-98.jpg] - алгебра линейных преобразований пространства k2n, кососимметрических относительно заданной невырожденной симметрической билинейной формы; [img: http://localhost:8080/file/031311-99.jpg] Простые алгебры Ли, отвечающие корневым системам типов E6, E7, Е 8, F4, G2, наз. особыми, или исключительными (см. Ли особая алгебра). Картана матрица Ли п. а. над алгебраическим замкнутым полем также определяет эту алгебру однозначно с точностью до изоморфизма. Матрицы Картана простых алгебр Ли имеют следующий вид: [img: http://localhost:8080/file/031311-100.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031311-101.jpg] Классификация расщепляемых Ли п. а. над произвольным полем kхарактеристики 0 (расщепляемой наз. Ли п. а. [img: http://localhost:8080/file/031311-102.jpg] обладающая такой подалгеброй Картана [img: http://localhost:8080/file/031311-103.jpg] что все характеристич. корни операторов ad X, [img: http://localhost:8080/file/031311-104.jpg] лежат в k).выглядит аналогично случаю алгебраически замкнутого поля. А именно, каждой неприводимой приведенной корневой системе соответствует единственная расщепляемая Ли п. а. В частности, расщепляемые Ли п. а. типов А -D имеют указанный выше вид с той разницей, что в случаях Ви Dнужно рассматривать невырожденные симметрические билинейные формы индекса Витта п. Проблема классификации произвольных Ли п. а. над kсводится к следующей задаче: перечислить с точностью до изоморфизма все k-формы [img: http://localhost:8080/file/031311-105.jpg] т. е. такие k-подалгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-106.jpg] Здесь К - алгебраически замкнутое расширение поля k, а [img: http://localhost:8080/file/031311-107.jpg] - заданная Ли п. а. над К. Решение этой задачи также можно получить в терминах корневых систем (см. Форма алгебраической группы). В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/031311-108.jpg] - классическая простая алгебра Ли над k(отличная от D4), существует другой метод классификации k-форм в [img: http://localhost:8080/file/031311-109.jpg] основанный на рассмотрении простых ассоциативных алгебр (см. [3]). В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/031311-110.jpg] классификация Ли п. а. выглядит следующим образом (см. [6], [7],[8]). Всякая простая неабелева алгебра Ли над R либо является простой алгеброй Ли над [img: http://localhost:8080/file/031311-111.jpg] (рассматриваемой как алгебра над [img: http://localhost:8080/file/031311-112.jpg]), либо есть вещественная форма простой алгебры Ли над [img: http://localhost:8080/file/031311-113.jpg] Классификация вещественных форм [img: http://localhost:8080/file/031311-114.jpg] в простых классич. алгебрах Ли [img: http://localhost:8080/file/031311-115.jpg] над С имеет следующий вид. "I. Тип [img: http://localhost:8080/file/031311-116.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031311-117.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031311-118.jpg] четно, [img: http://localhost:8080/file/031311-119.jpg] - подалгебра элементов из [img: http://localhost:8080/file/031311-120.jpg] сохраняющих нек-рую кватернионную структуру. [img: http://localhost:8080/file/031311-121.jpg] - подалгебра элементов из [img: http://localhost:8080/file/031311-122.jpg] кососимметрических относительно невырожденной эрмитовой формы положительного индекса р, [img: http://localhost:8080/file/031311-123.jpg] II. Тип [img: http://localhost:8080/file/031311-124.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031311-125.jpg] - алгебра линейных преобразований пространства [img: http://localhost:8080/file/031311-126.jpg] кососимметрических относительно невырожденной симметрической билинейной формы положительного индекса р, [img: http://localhost:8080/file/031311-127.jpg] III. Тип [img: http://localhost:8080/file/031311-128.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031311-129.jpg] - алгебра линейных преобразований пространства [img: http://localhost:8080/file/031311-130.jpg] кососимметрических относительно невырожденной кососимметрической билинейной формы. [img: http://localhost:8080/file/031311-131.jpg] - подалгебра в [img: http://localhost:8080/file/031311-132.jpg] состоящая из преобразований, сохраняющих нек-рую кватернионную структуру. IV. Тип [img: http://localhost:8080/file/031311-133.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031311-134.jpg] - алгебра линейных преобразований пространства [img: http://localhost:8080/file/031311-135.jpg] кососимметрических относительно невырожденной билинейной симметрич. формы положительного индекса р, [img: http://localhost:8080/file/031311-136.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031311-137.jpg] -подалгебра в [img: http://localhost:8080/file/031311-138.jpg] состоящая из преобразований, сохраняющих нек-рую кватернионную структуру. Ли п. а. над полем [img: http://localhost:8080/file/031311-139.jpg] были впервые рассмотрены в работах В. Киллинга [1], к-рый дал их классификацию, хотя в его доказательствах имелись пробелы, восполненные Э. Картаном [2]. Уже в работах В. Киллинга и Э. Картана появились корни алгебры Ля как характеристич. корни оператора ad X. Э. Картан дал также классификацию вещественных Л. п. а., установив глубокую связь между этими алгебрами и глобально симметрическими римановыми пространствами.