Ли полупростая группа

- связная группа Ли, не содержащая нетривиальных связных разрешимых (или, что равносильно, связных абелевых) нормальных делителей. Связная группа Ли пелупроста тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли полупроста. Связная группа Ли Gназ. п р о с т о й, если ее алгебра Ли проста, т. е. если Gне содержит нетривиальных связных нормальных делителей, отличных от G. Связная группа Ли является полупростой тогда и только тогда, когда она разлагается в локально прямое произведение простых неабелевых нормальных делителей. Классификация Ли п. г. сводится к локальной классификации, т. е. к классификации Ли полупростых алгебр, а также к глобальной классификации групп Ли G, отвечающих заданной полупростой алгебре Ли [img: http://localhost:8080/file/031311-140.jpg] В случае групп Ли над полем [img: http://localhost:8080/file/031311-141.jpg] комплексных чисел основной результат локальной классификации состоит в том, что всякая односвязная простая неабедева комплексная группа Ли изоморфна одной из групп [img: http://localhost:8080/file/031311-142.jpg] (универсальная накрывающая группы [img: http://localhost:8080/file/031311-143.jpg] (см. Классическая группа).или же одной из особых комплексных групп Ли (см. Ли особая алгебра). Глобальная классификация групп Ли, отвечающих полупростой алгебре Ли [img: http://localhost:8080/file/031311-144.jpg] над [img: http://localhost:8080/file/031311-145.jpg] выглядит следующим образом. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031311-146.jpg] - подалгебра Картана в [img: http://localhost:8080/file/031311-147.jpg] - система корней алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-148.jpg] относительно [img: http://localhost:8080/file/031311-149.jpg] Каждой Ли п. г. Gс алгеброй Ли [img: http://localhost:8080/file/031311-150.jpg] соответствует решетка [img: http://localhost:8080/file/031311-151.jpg] являющаяся ядром экспоненциального отображения ехр: [img: http://localhost:8080/file/031311-152.jpg] В частности, если G односвязна, то Г (С) совпадает с решеткой [img: http://localhost:8080/file/031311-153.jpg] порожденной элементами [img: http://localhost:8080/file/031311-154.jpg] _ (см. Ли полупростая алгебра), а если G - группа без центра (присоединенная группа), то Г (G) есть решетка [img: http://localhost:8080/file/031311-155.jpg] В общем случае [img: http://localhost:8080/file/031311-156.jpg] Для любой аддитивной подгруппы [img: http://localhost:8080/file/031311-157.jpg] удовлетворяющей условию [img: http://localhost:8080/file/031311-158.jpg] С [img: http://localhost:8080/file/031311-159.jpg] существует единственная с точностью до изоморфизма связная группа Ли Gс алгеброй Ли [img: http://localhost:8080/file/031311-160.jpg] такая, что Г(G)=М. При этом центр группы Gизоморфен Г 1/Г(G), а фундаментальная группа [img: http://localhost:8080/file/031311-161.jpg] Факторгруппа [img: http://localhost:8080/file/031311-162.jpg] (центр односвязной группы Ли с алгеброй Ли [img: http://localhost:8080/file/031311-163.jpg]) конечна и для различных типов простых алгебр Ли [img: http://localhost:8080/file/031311-164.jpg] имеет следующий вид: [img: http://localhost:8080/file/031311-165.jpg] Порядок группы Г 1/Г 0 совпадает с числом вершин расширенной диаграммы простых корней алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-166.jpg] при отбрасывании к-рых получается диаграмма простых корней. Аналогичная классификация имеет место для компактных вещественных Ли п. г., каждая из к-рых вкладывается в единственную комплексную Ли п. г. в качестве максимальной компактной подгруппы (см. Ли компактная группа). Глобальная классификация некомпактных вещественных Ли п. г. может быть проведена аналогично, но более сложным образом. В частности, центр [img: http://localhost:8080/file/031311-167.jpg] односвязной группы Ли, отвечающей полупростой алгебре Ли [img: http://localhost:8080/file/031311-168.jpg] над [img: http://localhost:8080/file/031311-169.jpg] можно вычислить следующим способом. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031311-170.jpg] - Картана разложение, где [img: http://localhost:8080/file/031311-171.jpg] - максимальная компактная в [img: http://localhost:8080/file/031311-172.jpg] подалгебра, а [img: http://localhost:8080/file/031311-173.jpg] - ее ортогональное дополнение относительно формы Киллинга, [img: http://localhost:8080/file/031311-174.jpg] - соответствующий инволютивный автоморфизм, продолженный в [img: http://localhost:8080/file/031311-175.jpg] - подалгебра Картана в [img: http://localhost:8080/file/031311-176.jpg] содержащая подалгебру Картана [img: http://localhost:8080/file/031311-177.jpg] - автоморфизм алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-178.jpg] совпадающий с [img: http://localhost:8080/file/031311-179.jpg] на корнях относительно [img: http://localhost:8080/file/031311-180.jpg] и продолженный на корневые векторы соответствующим образом, [img: http://localhost:8080/file/031311-181.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031311-182.jpg] - разложение Картана вещественной формы [img: http://localhost:8080/file/031311-183.jpg] отвечающей [img: http://localhost:8080/file/031311-184.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/031311-185.jpg] (см. [3], где эта группа вычислена для всех типов простых алгебр [img: http://localhost:8080/file/031311-186.jpg] над [img: http://localhost:8080/file/031311-187.jpg]). Всякая комплексная Ли п. г. Gобладает единственной структурой аффинной алгебраич. группы, согласованной с заданной на ней аналитич. структурой, причем любой аналитич. омоморфизм группы G в алгебраич. группу является рациональным. Соответствующая алгебра регулярных функций на G совпадает с алгеброй голоморфных представляющих функций. С другой стороны, некомпактная вещественная Ли п. г. не всегда допускает точное линейное представление - простейшим примером является односвязная группа Ли, соответствующая алгебре Ли [img: http://localhost:8080/file/031311-188.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031311-189.jpg] - полупростая алгебра Ли над [img: http://localhost:8080/file/031311-190.jpg] то в центре [img: http://localhost:8080/file/031311-191.jpg] односвязной группы G0, отвечающей [img: http://localhost:8080/file/031311-192.jpg] существует наименьшая подгруппа [img: http://localhost:8080/file/031311-193.jpg] называемая линеаризатором, такая, что [img: http://localhost:8080/file/031311-194.jpg] изоморфна линейной Ли п. г. Если [img: http://localhost:8080/file/031311-195.jpg] - компактная вещественная форма алгебры [img: http://localhost:8080/file/031311-196.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031311-197.jpg] (см. [3], где эта группа вычислена для всех типов простых алгебр Ли [img: http://localhost:8080/file/031311-198.jpg]).