Ли теорема

- 1) Ли т. - одна из трех классич. теорем теории групп Ли, описывающих связь Ли. локальной группы с ее алгеброй Ли. Ли т. составляют фундамент теории, развитой в 19 в. С. Ли (S. Lie) и его школой (см. [1]). Пусть G - r -мерная вещественная эффективная локальная Ли группа преобразований области [img: http://localhost:8080/file/031312-34.jpg] е- единица группы Gи пусть в локальных координатах в окрестности множества [img: http://localhost:8080/file/031312-35.jpg] действие группы Gна [img: http://localhost:8080/file/031312-36.jpg] задано набором аналитич. функций [img: http://localhost:8080/file/031312-37.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031312-38.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031312-39.jpg] Указанное действие определяет на [img: http://localhost:8080/file/031312-40.jpg] rаналитич. векторных полей [img: http://localhost:8080/file/031312-41.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031312-42.jpg] Первая теорема Ли устанавливает, что функции [img: http://localhost:8080/file/031312-43.jpg] определяющие действие группы G, сами определяются по нек-рому вспомогательному набору аналитич. функций [img: http://localhost:8080/file/031312-44.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031312-45.jpg] на G, удовлетворяющих условию [img: http://localhost:8080/file/031312-46.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031312-47.jpg] - символ Кронекера. Точнее, [img: http://localhost:8080/file/031312-48.jpg] - это матрица дифференциала правого сдвига на группе G на элемент g-1 в точке g, а набор функций (1) - это в точности решение системы уравнений [img: http://localhost:8080/file/031312-49.jpg] удовлетворяющее начальным условиям [img: http://localhost:8080/file/031312-50.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031312-51.jpg] Вторая т е о р е м а Ли описывает свойства. функций [img: http://localhost:8080/file/031312-52.jpg] А именно, [img: http://localhost:8080/file/031312-53.jpg] удовлетворяют системе уравнений [img: http://localhost:8080/file/031312-54.jpg] (эта система есть условие интегрируемости системы (4)), а функции [img: http://localhost:8080/file/031312-55.jpg] - в системе уравнений [img: http://localhost:8080/file/031312-56.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031312-57.jpg] - нек-рые константы. Соотношения (5) означают, что коммутатор (скобка Ли) [Xi, Xj]векторных нолей Xi и Xj является линейной комбинацией полей [img: http://localhost:8080/file/031312-58.jpg] с постоянными коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/031312-59.jpg] т. е. что линейная оболочка [img: http://localhost:8080/file/031312-60.jpg] полей Х 1,..., Х r является алгеброй относительно скобки Ли. Обращение первой и второй теорем Ли состоит в следующем: если функции f1,..., fn дают решение системы (4), в к-рой матрица [img: http://localhost:8080/file/031312-61.jpg] имеет максимальный ранг, и выполнены условия (3) и (5), то формула (1) определяет локальную эффективную группу Ли преобразований. Эта локальная группа порождена однопараметрич. группами преобразований, заданными формулой (2). Третья теорема Ли утверждает, что константы [img: http://localhost:8080/file/031312-62.jpg] удовлетворяют следующим соотношениям: [img: http://localhost:8080/file/031312-63.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/031312-64.jpg] является алгеброй Ли. Важное значение имеет обращение третьей теоремы Ли: если [img: http://localhost:8080/file/031312-65.jpg] - любые константы, удовлетворяющие соотношениям (7), то существует система векторных полей Х 1,..., Х r, удовлетворяющих соотношениям (6), и эти векторные поля возникают с помощью описанной выше конструкции из нек-рой локальной группы Ли преобразований (иначе говоря, всякая конечномерная алгебра Ли есть алгебра Ли нек-рой локальной группы Ли преобразований). Иногда (см., напр., [4]) третьей теоремой Ли наз. утверждение о существовании для каждой конечномерной алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/031312-66.jpg] над полем [img: http://localhost:8080/file/031312-67.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/031312-68.jpg] глобальной группы Ли с алгеброй Ли [img: http://localhost:8080/file/031312-69.jpg] (см. Ли алгебра аналитической группы). 2) Л и т. о разрешимых алгебрах Ли: пусть [img: http://localhost:8080/file/031312-70.jpg] - линейное представление конечномерной разрешимой алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/031312-71.jpg] в векторном пространстве Vнад алгебраически замкнутым полем характеристики 0; тогда в Vсуществует такой базис, в к-ром все операторы Xиз [img: http://localhost:8080/file/031312-72.jpg] записываются верхнетреугольными матрицами. Аналогичное утверждение справедливо и для линейного непрерывного представления связной топологической разрешимой группы в конечномерном комплексном векторном пространстве (теоретико-групповой аналог Ли т.); предположение о связности группы является существенным. Вариант теоретико-группового аналога Ли т. известен под названием Ли - Колчина теорема.