Лобачевского метод

метод Греффе, метод Данделена,- метод для одновременного вычисления всех корней многочлена. Пусть корни r1, r2,..., r п многочлена [img: http://localhost:8080/file/031324-1.jpg] удовлетворяют неравенствам [img: http://localhost:8080/file/031324-2.jpg] В качестве приближений к корням могут быть взяты отношения [img: http://localhost:8080/file/031324-3.jpg] Пусть теперь корни f(z), хотя и не выполнено (2), все же различны по абсолютной величине. Л. м. заключается в применении к уравнению f(z) = 0 процесса квадрирования, к-рый при достаточном числе повторений приводит к уравнению с корнями, удовлетворяющими условиям (2). К в а д р и р о в а н и е состоит в переходе от очередного многочлена fr(z) к многочлену fr+1(z) той же степени, корни к-рого равны квадратам корней fr(z). Переход выполняется по рекуррентным формулам. Применение Л. м. возможно и при наличии групп равных по абсолютной величине корней, хотя это приводит к осложнениям в логике и формулах метода. Достоинством метода является то, что не требуется знания начальных приближений к корням многочлена. В случае различных по абсолютной величине корней скорость сходимости процесса асимптотически квадратичная. ' Л. м. является, однако, численно неустойчивым, т. к. процесс квадрирования приводит к очень быстрому накоплению вычислительной погрешности. В связи с этим предпринимались попытки придать Л. м. самоисправляющуюся форму. Так, напр., для вычисления корней многочлена (1) строится последовательность многочленов gr(z) степени [img: http://localhost:8080/file/031324-4.jpg] связанных соотношениями [img: http://localhost:8080/file/031324-5.jpg] отсюда [img: http://localhost:8080/file/031324-6.jpg] При каждом фиксированном kищутся многочлены [img: http://localhost:8080/file/031324-7.jpg] определяемые следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/031324-8.jpg] ДЛЯ [img: http://localhost:8080/file/031324-9.jpg] есть многочлен вида [img: http://localhost:8080/file/031324-10.jpg] имеющий степень [img: http://localhost:8080/file/031324-11.jpg] Если корни многочлена f(z) удовлетворяют неравенствам [img: http://localhost:8080/file/031324-12.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031324-13.jpg] где f*(z) - многочлен f(z),.нормированный делением на коэффициент при старшем члене. Таким образом, из исходного многочлена выделяются множители, соответствующие группам равных по абсолютной величине корней (см. [3]). Л. м. предложен Н. И. Лобачевским в 1834 (см. [1]).