Логарифмический вычет

мероморфной функции w=f(z).в точке а расширенной плоскости комплексного переменного z - вычет [img: http://localhost:8080/file/031324-83.jpg] логарифмич. производной f'(z)/f(z) в точке а. Представив функцию ln f(z) в окрестности V(а).точки [img: http://localhost:8080/file/031324-84.jpg] в виде [img: http://localhost:8080/file/031324-85.jpg] - регулярная функция в V(a), получают [img: http://localhost:8080/file/031324-86.jpg] Соответствующие формулы для случая [img: http://localhost:8080/file/031324-87.jpg] имеют вид [img: http://localhost:8080/file/031324-88.jpg] Если а - нуль кратности тфункции f(z) или полюс кратности т, то Л. в. f(z) в точке а равен соответственно тили -m; во всех остальных точках Л. в. равен нулю. Если f(z) - мероморфная функция в области Dи Г - спрямляемая жорданова кривая, расположенная в Dи не проходящая ни через нули, ни через полюсы f(z). то Л. в. функции f(z) относительно контура Г паз. интеграл [img: http://localhost:8080/file/031324-89.jpg] к-рый равен разности между числом нулей Nфункции f(z) и числом полюсов Рвнутри Г (с учетом их кратности). Геометрич. смысл формулы (1) состоит в том, что при обходе контура Г в положительном направлении вектор w=f(z) делает N-Р оборотов вокруг начала координат w=0 плоскости переменного w(см. Аргумента принцип). В частности, если f(z) регулярна в D, т. е. Р=0, из (1) получается формула для вычисления индекса точки w=0 относительно образа Г*=f (Г) пути Г при помощи Л. в.: [img: http://localhost:8080/file/031324-90.jpg] Формула (2) приводит к обобщению понятия Л. в. для регулярных функций многих комплексных переменных в области Dкомплексного пространства [img: http://localhost:8080/file/031324-91.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031324-92.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031324-93.jpg] - голоморфное отображение такое, что якобиан [img: http://localhost:8080/file/031324-94.jpg] и множество нулей E=f-1(0).изолировано в D. Тогда для любой области [img: http://localhost:8080/file/031324-95.jpg] ограниченной простой гладкой замкнутой поверхностью Г, не проходящей через нули f, имеем формулу для индекса точки w=0 относительно образа Г*=f (Г): [img: http://localhost:8080/file/031324-96.jpg] где интегрирование производится по га-мерному остову [img: http://localhost:8080/file/031324-97.jpg] при достаточно малом [img: http://localhost:8080/file/031324-98.jpg] Интеграл в формуле (3) выражает также сумму кратностей нулей отображения f в G(см. [2]).