Локализация

в категориях - специальная конструкция, связанная со.специальными радикальными подкатегориями; она впервые появилась в абелевых категориях для описания т. н. Гротендика категорий с помощью категорий модулей над ассоциативными кольцами с единицей. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031325-95.jpg] - абелева категория. Полная подкатегория [img: http://localhost:8080/file/031325-96.jpg] категории [img: http://localhost:8080/file/031325-97.jpg] наз. плотной, если она содержит все подобъекты и фак-торобъекты своих объектов н замкнута относительно расширений, т. е. в точной последовательности [img: http://localhost:8080/file/031325-98.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031325-99.jpg] тогда и только тогда, когда А, [img: http://localhost:8080/file/031325-100.jpg] Факторкатегория [img: http://localhost:8080/file/031325-101.jpg] строится следующим образом. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031325-102.jpg] - подобъект прямой суммы [img: http://localhost:8080/file/031325-103.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031326-1.jpg] - проекции, и пусть квадрат [img: http://localhost:8080/file/031326-2.jpg] коуниверсален. Подобъект [img: http://localhost:8080/file/031326-3.jpg] наз. [img: http://localhost:8080/file/031326-4.jpg] -подобъектом, если [img: http://localhost:8080/file/031326-5.jpg] Два [img: http://localhost:8080/file/031326-6.jpg] -подобъекта эквивалентны, если они содержат нек-рый [img: http://localhost:8080/file/031326-7.jpg] -подобъект. Множество [img: http://localhost:8080/file/031326-8.jpg] состоит, по определению, из классов эквивалентных [img: http://localhost:8080/file/031326-9.jpg] -подобъектов прямой суммы [img: http://localhost:8080/file/031326-10.jpg] Обычное умножение бинарных отношений в абелевой категории согласовано с введенной эквивалентностью, что позволяет определить факторкатегорию [img: http://localhost:8080/file/031326-11.jpg] Эта факторкатегория оказывается абелевой категорией. Точный функтор [img: http://localhost:8080/file/031326-12.jpg] можно задать, сопоставляя каждому морфизму [img: http://localhost:8080/file/031326-13.jpg] его график в [img: http://localhost:8080/file/031326-14.jpg] Подкатегория [img: http://localhost:8080/file/031326-15.jpg] наз. подкатегорией локализации, если функтор Тобладает полным сопряженным справа функтором [img: http://localhost:8080/file/031326-16.jpg] Подкатегория Л. всегда является подкатегорией всех радикальных объектов нек-рого наследственного радикала. В категории абелевых групп подкатегория всех периодич. групп есть подкатегория Л. Факторкатегория любой категории модулей по подкатегории Л. является категорией Гротендика. Обратно, всякая категория Гротендика эквивалентна нек-рой фактор-категории подходящей категории модулей. Понятие подкатегории Л. можно определить и для неабелевых категорий [3]. Однако в неабелевом случае таких подкатегорий обычно мало. Напр., в категории всех ассоциативных колец имеется только две тривиальные подкатегории Л.- вся категория и ее полная подкатегория, содержащая только нулевые кольца.