Локальное кольцо

- коммутативное кольцо с единицей, имеющее единственный максимальный идеал. Если А - Л. к. с максимальным идеалом [img: http://localhost:8080/file/031327-97.jpg] то факторкольцо [img: http://localhost:8080/file/031327-98.jpg] является полем и наз. полем вычетов Л. к. А. Примеры Л. к. Любое поле или кольцо нормирования является локальным. Локально и кольцо формальных степенных рядов [img: http://localhost:8080/file/031327-99.jpg] над полем kили над любым Л. к. Напротив, кольцо многочленов [img: http://localhost:8080/file/031327-100.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031327-101.jpg] не локально. Пусть X - топологич. пространство (или дифференцируемое многообразие, или аналитич. ространство, или алгебраич. многообразие), а х - точка X. Пусть А - кольцо ростков в точке хнепрерывных функций (соответственно дифференцируемых, аналитических или регулярных функций); тогда А - Л. к., максимальный идеал к-рого состоит из ростков функций, обращающихся в 0 в точке х. К Л. к. приводят нек-рые общие теоретико-кольцевые конструкции, важнейшей из к-рых является локализация. Пусть А - коммутативное кольцо, а [img: http://localhost:8080/file/031327-102.jpg] - простой идеал А. Кольцо [img: http://localhost:8080/file/031327-103.jpg], к-рое состоит из дробей вида [img: http://localhost:8080/file/031327-104.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031327-105.jpg] является локальным и наз. локализацией кольца Ав [img: http://localhost:8080/file/031327-106.jpg] Максимальным идеалом кольца [img: http://localhost:8080/file/031327-107.jpg] является идеал [img: http://localhost:8080/file/031327-108.jpg] а поле вычетов [img: http://localhost:8080/file/031327-109.jpg] отождествляется с полем частных целостного факторкольца [img: http://localhost:8080/file/031327-110.jpg] Другие конструкции, приводящие к Л. к., - гензелизация или пополнение кольца относительно нек-рого максимального идеала. Любое факторкольцо Л. к. также локально. Свойство кольца А(или А-модуля М, или А-алгебры В).наз. локальным свойством, если выполнение его для А(или М, или В).эквивалентно выполнению его для колец [img: http://localhost:8080/file/031327-111.jpg] (соответственно модулей [img: http://localhost:8080/file/031327-112.jpg] или алгебр [img: http://localhost:8080/file/031327-113.jpg]) для всех простых идеалов [img: http://localhost:8080/file/031327-114.jpg] кольца А(см. Локальное свойство). Степени mn максимального идеала [img: http://localhost:8080/file/031327-115.jpg] Л. к. Аопределяют базис окрестностей нуля так наз. топологии локального кольца (или m-адической топологии). Для нётерова Л. к. эта топология отделима (теорема К р у л л я), а любой его идеал является замкнутым. Далее рассматриваются только нётеровы локальные кольца. Л. к. наз. полным локальным кольцом, если оно полно относительно m-адической топологии; в этом случае [img: http://localhost:8080/file/031327-116.jpg] В полном Л. к. [img: http://localhost:8080/file/031327-117.jpg] -адическая топология слабее любой другой отделимой топологии (теорема Шевалле). Любое полное Л. к. представляется как факторкольцо кольца [img: http://localhost:8080/file/031327-118.jpg] формальных степенных рядов, где S - поле (в равнохарактеристическом случае) или полное кольцо дискретного нормирования (в случае разных характеристик). Эта теорема позволяет доказать, что полные Л. к. обладают рядом специфич. свойств, отсутствующих у произвольных нётеровых Л. к. (См. [5]), напр. полное Л. к. является превосходным кольцом. Более тонкое, количественное исследование Л. к. Асвязано с применением понятия присоединенного градуированного кольца [img: http://localhost:8080/file/031327-119.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/031327-120.jpg] Пусть Н А (п) - размерность векторного пространства [img: http://localhost:8080/file/031327-121.jpg] над полем вычетов А/m; как функция целого аргумента пона наз. функцией Гильберта - Самюэля (или характеристической ф у н к ц и е й) Л. к. А. При больших пэта функция совпадает с нек-рым многочленом [img: http://localhost:8080/file/031327-122.jpg] от п, к-рый наз. многочленом Гильберт а- Самюэля Л. к. А (см. также Гильберта многочлен). Этот факт можно выразить в терминах ряда Пуанкаре: формальный ряд [img: http://localhost:8080/file/031327-123.jpg] является рациональной функцией вида [img: http://localhost:8080/file/031327-124.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031327-125.jpg] - многочлен, a d(A).1 равно степени [img: http://localhost:8080/file/031327-126.jpg] Целое число d(A).совпадает с размерностью (по Круллю) dim Акольца Аи является одним из важнейших инвариантов кольца. Кроме того, d(A).равно наименьшему числу элементов [img: http://localhost:8080/file/031327-127.jpg] для к-рых факторкольцо [img: http://localhost:8080/file/031327-128.jpg] артиново. Если эти элементы можно выбрать так, чтобы они порождали максимальный идеал [img: http://localhost:8080/file/031327-129.jpg] то Л. к. Аназ. регулярным локальным кольцом. Регулярность Аэквивалентна тому, что [img: http://localhost:8080/file/031327-130.jpg] Для d-мерного регулярного кольца А [img: http://localhost:8080/file/031327-131.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/031327-132.jpg] Геометрически регулярность означает неособость соответствующей точки (аналитического или алгебраического) многообразия. Помимо характеристич. функции Н А и связанных с ней размерности и кратности у Л. к. имеются различные инварианты гомологич. природы. Главным из них является глубина prof А(см. Глубина модуля);условие prof A = dim Авыделяет среди Л. к. так наз. Коэна- Маколея кольца. Неизвестно (1982), для всякого ли полного Л. к. Асуществует модуль М сprof A= dim A. Другими гомологич. инвариантами являются т. н. ч и с л а Бетти bi (А).Л. к. А, т. е. размерности k-пространств [img: http://localhost:8080/file/031327-133.jpg] где k - поле вычетов А. Открыт вопрос о рациональности ряда Пуанкаре [img: http://localhost:8080/file/031327-134.jpg] хотя для многих классов колец известен утвердительный ответ. Имеются также инварианты алгебро-геометрич. природы; при их определении используется разрешение особенности, соответствующей Л. к. Аналогичная теория строится для полулокальных к о л е ц, т. е. колец, имеющих конечное число максимальных идеалов. Роль максимального идеала для них при этом играет Джекобсона радикал.