Локально выпуклая топология

такая (не обязательно отделимая) топология т на действительном или комплексном топологическом векторном пространстве Е, обладающая базисом из выпуклых окрестностей точек пространства Е, что линейные операции в Енепрерывны относительно топологии т. Л. в. т. т на векторном пространстве Еаналитически определяется произвольным семейством преднорм [img: http://localhost:8080/file/031326-95.jpg] как топология, базис окрестностей нуля к-рой состоит из множеств вида [img: http://localhost:8080/file/031326-96.jpg] где ппробегает натуральный ряд, a U - семейство конечных пересечений множеств вида [img: http://localhost:8080/file/031326-97.jpg] такое семейство преднорм наз. порождающим для t. Топология, индуцированная данной Л. в. т. на векторном подпространстве, фактортопология на факторпространстве и топология произведения Л. в. т. суть также Л. в. т. Топология т на топологическом векторном пространстве Етогда и только тогда есть Л. в. т., когда т есть топология равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах сопряженного пространства Е*. Пусть Еи [img: http://localhost:8080/file/031326-98.jpg] __ - векторные пространства над [img: http://localhost:8080/file/031326-99.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/031326-100.jpg] (соответственно ga) - линейное отображение Ев Еа, (соответственно Е a в Е).и ta - Л. в. т. на [img: http://localhost:8080/file/031326-101.jpg] Слабейшая из топологий на Е, для к-рой все отображения fa являются непрерывными отображениями пространства Ев (Е a,ta), наз. пр оективной топологией на Е относительно семейства [img: http://localhost:8080/file/031326-102.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031326-103.jpg] проективная топология есть Л. в. т. В частности, верхняя грань семейства Л. в. т. на данном векторном пространстве, индуцированная топология на подпространстве и топология произведения Л. в. т. суть проективные топологии (и потому - Л. в. т.). Сильнейшая Л. в. т. на Е, относительно к-рой все отображения [img: http://localhost:8080/file/031326-104.jpg] являются непрерывными отображениями пространства [img: http://localhost:8080/file/031326-105.jpg] в пространство Е, наз. индуктивной топологией на Е относительно семейства [img: http://localhost:8080/file/031326-106.jpg] В частности, фактортопология данной Л. в. т. и топология прямой суммы Л. в. т. являются индуктивной топологией (и потому - Л. в. т.). Понятия проективной и индуктивной Л. в. т. позволяют определить операции проективного и индуктивного пределов в категории локально выпуклых пространств и их линейных отображений.