Лоренца аттрактор

- компактное инвариантное множество Lв трехмерном фазовом пространстве гладкого потока {St}, к-рое имеет указанную ниже сложную топологич. структуру и является асимптотически устойчивым (т. е. оно устойчиво по Ляпунову и все траектории из нек-рой окрестности Lстремятся к Lпри [img: http://localhost:8080/file/031329-11.jpg]); в понятие аттрактора, т. е. притягивающего множества, часто включают только последнее из этих двух свойств, однако как Л. а., так и другие практически важные аттракторы обладают обоими этими свойствами. Л. а. впервые появился в численных экспериментах Э. Лоренца [1], исследовавшего поведение траекторий системы [img: http://localhost:8080/file/031329-12.jpg] при нек-рых конкретных значениях параметров [img: http://localhost:8080/file/031329-13.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031329-14.jpg] (Эта система вначале была введена как первое нетривиальное галеркинское приближение для нек-рых гидродинамич. задач- чем и мотивировался выбор значений [img: http://localhost:8080/file/031329-15.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031329-16.jpg] но она возникает также и в других физич. вопросах, см. [2], [3].) В [4] результаты [1] и более новые данные численных экспериментов в общих чертах сопоставлены с теоретич. представлениями теории гладких динамич. систем, а в [5] результаты [1] интерпретированы как указание о существовании у системы (*) аттрактора (получившего назв. аттрактора Лоренца), к-рый во многом аналогичен гиперболическим множествам, но не является таковым (основное отличие связано с тем, что в состав Л. а. входит положение равновесия типа седло с одним положительным собственным значением; для системы (*) это положение равновесия - начало координат). Существование Л. а. и ряд его свойств следуют из определенных особенностей отображения последования на нек-рой поверхности П (для системы (*) используется плоскость z=27), точная формулировка к-рых, однако, весьма громоздка (см. [6], [9]) и при проверке к-рых для конкретных систем, включая (*), приходится прибегать к численному интегрированию. Соответственно, Л. а. посвящены исследования двух типов. 1) В исследованиях теоретич. характера с самого начала предполагается, что рассматриваемые потоки имеют на нек-рой поверхности П надлежащее отображение последования, и отсюда извлекаются следствия о свойствах Л. а. Его строение описывается следующим образом [8]. Рассмотрим "разветвленное многообразие" L0, на к-ром при [img: http://localhost:8080/file/031329-17.jpg] задан поток [img: http://localhost:8080/file/031329-18.jpg] как указано на рисунке. Пусть отображение последования на линии разветвления аb является (равномерно) растягивающим, т. е. во всех точках (кроме с, где оно терпит разрыв) его производная больше нек-рого l>1 (годится любое такое l, но исследование упрощается при [img: http://localhost:8080/file/031329-19.jpg] что совместимо с вычислительными данными о системе (*) при указанных [img: http://localhost:8080/file/031329-20.jpg]). Пары [img: http://localhost:8080/file/031329-21.jpg] естественным образом образуют обратный спектр топологич. пространств и отображений; его предел и есть [img: http://localhost:8080/file/031329-22.jpg] (Дальнейшее изучение структуры Л. а. [8], [11] основывается на этом описании, к-рое поэтому естественно включить в определение Л. а., особенно если не связывать определение со специальными свойствами отображения последования.) Л. а. обладают топологической транзитивностью и их периодич. траектории в совокупности плотны в L. При малом (в смысле С 1) возмущении потока с надлежащим отображением последования у возмущенного потока имеется Л. а., близкий к Л. а. исходного потока, но, вообще говоря, не гомеоморфный ему. В этом смысле Л. а. сохраняется при малых возмущениях (в теории гладких динамич. систем известны (1982) только два класса компактных инвариантных множеств с этим свойством и сколько-нибудь изученной структурой: Л. а. и локально максимальные гиперболические множества), но Л. а. (в отличие от последних) не обладают локальной грубостью. 2) Чтобы обнаружить Л. а. у конкретной системы типа (*) и уточнить его свойства, приходится наряду с различными теоретич. соображениями использовать численное интегрирование (см. [7], [9]). Таким путем были исследованы бифуркации, происходящие в системе (*) при изменении r или а и приводящие к появлению Л. а. [9]. Естественно, численное интегрирование и само по себе дает нек-рую информацию об аттракторе (поскольку траектории со временем приближаются к нему, то на чертеже, изображающем последовательные точки пересечения просчитываемых траекторий с П, возле аттрактора эти точки расположены значительно "гуще", чем вдали от него, и это сразу бросается в глаза). Относящийся сюда материал весьма обширен; так, обнаружены новые области значений параметров, при к-рых система (*) имеет Л. а. [10]. Здесь, однако, остаются невыясненными детали топологич. структуры, к-рая может и отличаться от описанного выше строения "стандартных" Л. а. Теоретич. интерпретации данных численных экспериментов для систем порядка выше трех пока (1982) не имеется.