Люрота проблема

- проблема характеризации подполей поля рациональных функций. В 1876 Ж. Люрот [1] (см. также [2]) доказал, что всякое подполе поля рациональных функций от одной переменной k(x), содержащее поле kи отличное от k, изоморфно полю k(x).(теорема Л ю р о т а). Вопрос о том, верно ли аналогичное утверждение для подполей Л поля [img: http://localhost:8080/file/031330-82.jpg] известен как проблема Люрота. Пусть X - алгебраич. многообразие, являющееся моделью (см. Минимальная модель).поля Л, тогда вложение [img: http://localhost:8080/file/031330-83.jpg] определяет рациональное отображение [img: http://localhost:8080/file/031330-84.jpg] образ к-рого плотен в X. Многообразия, для к-рых существует такое отображение на них проективного пространства, наз. у н и р а ц и о н а л ь н ы м и. Рациональными наз. многообразия, бирационально изоморфные Р т. На геометрич. языке Л. п. может быть сформулирована следующим образом: является ли всякое унирацпональное многообразие Xрациональным? Без ограничения общности можно предполагать, что dim X=n, т. е. что Л имеет степень трансцендентности, равную п. В случае n=1 положительное решение Л. п. для любого основного поля kдает сформулированная выше теорема Люрота. Для n=2 и алгебраически замкнутого поля kхарактеристики 0 проблема положительно решена Г. Кастельнуово (G. Castelnuovo) в 1893. Из критерия рациональности Г. Кастельнуово следует также положительное решение Л. п. для таких поверхностей Xнад алгебраически замкнутым полем произвольной характеристики, для к-рых существует сепарабельное отображение [img: http://localhost:8080/file/031330-85.jpg] (см. [7]). Для несепарабельных отображений f существуют примеры, дающие отрицательное решение Л. п. для полей простой характеристики. В случае алгебраически незамкнутого поля kтакими примерами являются минимальные кубич. поверхности в Р 3, обладающие k-точками. Для трехмерных многообразий Л. п. также решается отрицательно (см. [4], [5], [6]). Доказана [5] нерациональность трехмерной кубической гиперповерхности, к-рая, как известно, унирациональна. Для доказательства был найден новый метод, основанный на сравнении промежуточного якобиана кубики с якобианами кривых. Доказана [4] нерациональность гладких трехмерных квартик. Для конструкции контрпримеров использована [6] в качестве инварианта группа Брауэра многообразия (группа кручений в трехмерных кого-мологиях). Этот бирациональный инвариант использован также для построения контрпримеров во всех размерностях [img: http://localhost:8080/file/031330-86.jpg]