Ляпунова поверхности и кривые

класс поверхностей и кривых, обладающих достаточно хорошими свойствами гладкости, введенный в теории потенциала А. М. Ляпуновым в кон. 19 - нач. 20 вв. Поверхность Sв трехмерном евклидовом пространстве R3 наз. поверхностью Ляпунова, если выполнены следующие три условия (условия Ляпунова): 1) в каждой точке Sсуществует определенная касательная плоскость и, следовательно, нормаль; 2) существует такое число r>0, одно и то же для всех точек S, что если взять часть [img: http://localhost:8080/file/031330-87.jpg] поверхности S, попавшую внутрь сферы Ляпунова В(у 0, r).с центром в любой точке [img: http://localhost:8080/file/031330-88.jpg] радиуса r, то прямые, параллельные нормали к Sв точке y0, встречают [img: http://localhost:8080/file/031330-89.jpg] не более чем один раз; 3) существуют такие два числа [img: http://localhost:8080/file/031330-90.jpg] одни и те же для всей поверхности S, что для любых двух точек [img: http://localhost:8080/file/031330-91.jpg] выполняется неравенство: [img: http://localhost:8080/file/031330-92.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031330-93.jpg] - угол между нормалями к Sв точках y1 и у 2. Иногда к этим трем условиям добавляются требования замкнутости Sи того, чтобы телесный угол, под к-рым любая часть [img: http://localhost:8080/file/031330-94.jpg] поверхности Sвидна из произвольной точки [img: http://localhost:8080/file/031330-95.jpg] был равномерно ограничен. Условия Ляпунова обобщаются для гиперповерхностей в пространстве [img: http://localhost:8080/file/031330-96.jpg] Аналогично, простая непрерывная кривая Lна плоскости [img: http://localhost:8080/file/031330-97.jpg] наз. кривой Ляпунова, если она удовлетворяет следующим условиям: 1') в каждой точке Lсуществует определенная касательная и, следовательно, нормаль; 3') существуют такие два числа А>0 и [img: http://localhost:8080/file/031330-98.jpg] одни и те же для всей кривой L, что для любых двух точек [img: http://localhost:8080/file/031330-99.jpg] выполняется неравенство (*). где [img: http://localhost:8080/file/031330-100.jpg] - угол между касательными или нормалями к L в точках y1, у 2. Условие Ляпунова 2) здесь вытекает из 1') и 3'). Кривые Ляпунова представляют собой подкласс простых гладких кривых.