Максимального правдоподобия метод

один из основных общих методов построения оценок неизвестного параметра в статистич. теории оценивания. Пусть по наблюдению Xс распределением [img: http://localhost:8080/file/031402-24.jpg] зависящим от неизвестного параметра [img: http://localhost:8080/file/031402-25.jpg] ___ оценивается [img: http://localhost:8080/file/031402-26.jpg] Предполагая, что все меры [img: http://localhost:8080/file/031402-27.jpg] абсолютно непрерывны относительно общей меры v, определяют функцию правдоподобия равенством [img: http://localhost:8080/file/031402-28.jpg] М. п. м. рекомендует принять в качестве оценки для [img: http://localhost:8080/file/031402-29.jpg] статистику [img: http://localhost:8080/file/031402-30.jpg] определяемую соотношением [img: http://localhost:8080/file/031402-31.jpg] Оценка [img: http://localhost:8080/file/031402-32.jpg] наз. оценкой максимального (или наибольшего) правдоподобия (о. м. п.). В широком классе случаев о. м. п. является решением уравнений правдоподобия [img: http://localhost:8080/file/031402-33.jpg] Пример 1. Пусть Х=(Х 1,..., Х n).последовательность независимых случайных величин (наблюдений) с общим распределением Если существует плотность [img: http://localhost:8080/file/031402-34.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031402-35.jpg] относительно нек-рой меры т, то [img: http://localhost:8080/file/031402-36.jpg] и уравнения (1) имеют вид [img: http://localhost:8080/file/031402-37.jpg] Пример 2. Пусть в условиях 1-го примера [img: http://localhost:8080/file/031402-38.jpg] есть нормальное распределение с плотностью [img: http://localhost:8080/file/031402-39.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031402-40.jpg] Уравнения (2) принимают вид [img: http://localhost:8080/file/031402-41.jpg] о. м. п. выражается равенствами: [img: http://localhost:8080/file/031402-42.jpg] П р и м е р 3. В условиях 1-го примера Xj принимают значения 0 и 1 с вероятностями соответственно [img: http://localhost:8080/file/031402-43.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/031402-44.jpg] а о. м. п. [img: http://localhost:8080/file/031402-45.jpg] Пример 4. Пусть наблюдение X=Xt есть диффузионный процесс со стохастическим дифференциалом [img: http://localhost:8080/file/031402-46.jpg] где wt- винеровский процесс, а [img: http://localhost:8080/file/031402-47.jpg] - неизвестный одномерный параметр. Здесь (см. [3]) [img: http://localhost:8080/file/031402-48.jpg] В основе М. п. м. не лежат никакие четко выраженные соображения оптимальности, и широко распространенная вера в его хорошие качества основана отчасти на большом успехе, с к-рым М. п. м. применялся к многочисленным конкретным задачам, отчасти на строго установленных асимптотически оптимальных свойствах. Напр., в ситуации 1-го примера в широких предположениях [img: http://localhost:8080/file/031402-49.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/031402-50.jpg] -вероятностью 1. Если существует информационное количество Фишера [img: http://localhost:8080/file/031402-51.jpg] то разность [img: http://localhost:8080/file/031402-52.jpg] асимптотически нормальна с параметрами [img: http://localhost:8080/file/031402-53.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031402-54.jpg] имеет в определенном смысле асимптотически минимальный средний квадрат уклонения от в (см. [4]).