Максимальный тор

- 1) М. т. линейной алгебраической группы G - алгебраическая подгруппа в G, являющаяся алгебраическим тором и не содержащаяся ни в какой большей подгруппе такого типа. Пусть, далее, группа Gсвязна. Объединение всех М. т. группы Gсовпадает с множеством всех полупростых элементов группы G(см. Жордана разложение), а пересечение - с множеством всех полупростых элементов центра группы G. Всякий М. т. содержится в нек-рой Бореля подгруппе группы G. Централизатор М. т. является Картина подгруппой группы G; он всегда связен. Любые два М. т. группы G сопряжены в G. Если группа G определена над полем k, то в G существует М. т., также определенный над k;его централизатор тоже определен над k. Пусть G - редуктивная группа, определенная над полем k. Среди всех алгебраич. подгрупп в G, являющихся расщепимыми над kалгебраич. торами, также можно рассматривать максимальные подгруппы. Получающиеся таким образом максимальные k-расщепимые торы сопряжены над k. Общая размерность таких торов наз. k-рангом группы G и обозначается rkkG. Максимальный k-расщепимый тор не является, вообще говоря, М. т., т. е. rkkG, вообще говоря, меньше ранга G (равного размерности М. т. в G).. Если rkkG=0, то G наз. анизотропной над kгруппой, а если rkkG совпадает с рангом G, то G наз. расщеп и мой над kгруппой. Если kалгебраически замкнуто, то Gвсегда расщепима над k. В общем случае G всегда расщепима над сепарабельным замыканием k. Примеры. Пусть k - поле и [img: http://localhost:8080/file/031402-82.jpg] - его алгебраич. замыкание. Группа [img: http://localhost:8080/file/031402-83.jpg] невырожденных матриц порядка пс коэффициентами в [img: http://localhost:8080/file/031402-84.jpg] (см. Классическая группа, Полная линейная группа).определена и расщепима над простым подполем поля k. Подгруппа всех диагональных матриц является М. т. в G. Пусть характеристика поля kотлична от 2. Пусть V-n-мерное векторное пространство над [img: http://localhost:8080/file/031402-85.jpg] a F- невырожденная квадратичная форма на V, определенная над k(последнее означает, что в нек-ром базисе e1,..., е п пространства Vформа [img: http://localhost:8080/file/031402-86.jpg] является многочленом от x1,..., х п с коэффициентами в k). Пусть G-группа всех невырожденных линейных преобразований пространства V, имеющих определитель 1 и сохраняющих форму F. Она определена над k. Пусть Vk - линейная оболочка над kвекторов e1,..., е п;она является k-формой пространства V. В Vвсегда существует базис f1,..., f п в к-ром форма имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031402-87.jpg] где р=n/2, если и четно, и p=(n+1)/2, если и нечетно. Подгруппа в G, состоящая из тех элементов, к-рые в этом базисе имеют матрицу вида || а ij||, где а ij=0 при [img: http://localhost:8080/file/031402-88.jpg] при i=1, 2,..., р, является М. т. в G (так что ранг Gравен целой части числа п/2). Указанный базис не лежит, вообще говоря, в Vk. Однако в Vk всегда существует базис h1,..., h п, в к-ром квадратичная форма имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031402-89.jpg] где F0- квадратичная форма, не представляющая над kнуля (т. е. такая, что уравнение F0=0 имеет в kтолько нулевое решение) (см. Витта разложение). Подгруппа в G, состоящая из всех элементов, к-рые в базисе h1,..., h п имеют матрицу вида || а ij||, где а ij=0 при [img: http://localhost:8080/file/031402-90.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031402-91.jpg] при i=1,..., qи [img: http://localhost:8080/file/031402-92.jpg] при i=q+l,..., п-q, является максимальным k-расще-пимым тором в G (так что rkkG=q и G расщепима тогда и только тогда, когда qравно целой части п/2). Рассмотрение М. т. позволяет сопоставить редуктив-ной группе G нек-рую корневую систему, что является основой классификации редуктивных групп. Аименно, пусть [img: http://localhost:8080/file/031402-93.jpg] - алгебра Ли группы G к Т - фиксированный М. т. в G. Присоединенное представление тора Тв пространстве [img: http://localhost:8080/file/031402-94.jpg] рационально и диагонализи-руемо, так что [img: http://localhost:8080/file/031402-95.jpg] раскладывается в прямую сумму весовых подпространств этого представления. Множество ненулевых весов этого представления (рассматриваемое как подмножество своей линейной оболочки в векторном пространстве [img: http://localhost:8080/file/031402-96.jpg] где X (Т) - группа рациональных характеров тора Т).оказывается (приведенной) корневой системой. Аналогично определяется и относительная система корней:если G определена над k, a S - максимальный k-расщепимый тор в G, то множество ненулевых весов присоединенного представления Sв [img: http://localhost:8080/file/031402-97.jpg] образует корневую систему (вообще говоря, неприведенную) в нек-ром подпространстве пространства [img: http://localhost:8080/file/031402-98.jpg] См. также Вейля группа, Полупростая группа.