Маркова проблема спектра

проблема теории чисел, возникшая в связи с задачей о распределении нормированных значений арифметич. минимумов неопределенных бинарных квадратичных форм. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031405-46.jpg] - однородный арифметич. минимум формы f/. Число [img: http://localhost:8080/file/031405-47.jpg] наз. постоянной Маркова формы f. Множество [img: http://localhost:8080/file/031405-48.jpg] когда f пробегает все действительные неопределенные квадратичные формы, наз. спектром Маркова. Постоянную и спектр Маркова определяют по-разному, в частности А. А. Марков в [1] рассматривал множество {2/m(f)}. Известно, что m(f) - инвариант луча Fклассов форм, т. е. множества [img: http://localhost:8080/file/031405-49.jpg] т. [img: http://localhost:8080/file/031405-50.jpg] так, что если обозначить [img: http://localhost:8080/file/031405-51.jpg] (знак [;...] - обозначение цепной дроби), то [img: http://localhost:8080/file/031405-52.jpg] Проблему Маркова можно сформулировать следующим образом: 1) описать спектр Маркова М,2) для каждого [img: http://localhost:8080/file/031405-53.jpg] описать множество форм f=f(x, у).(или лучей классов F), для к-рых m(f)=m(F).m. Проблема решена А. А. Марковым для начальной части спектра М, определяемой условием m(f)<3. Эта часть спектра является дискретным множеством [img: http://localhost:8080/file/031405-54.jpg] с единственной предельной точкой 3 (точка конденсации множества М); т, п, р пробегают все целые положительные решения диофантова уравнения Маркова [img: http://localhost:8080/file/031405-55.jpg] При этом каждой точке этой части спектра отвечает ровно один луч классов Fm, задаваемый формой Маркова fm=fm(x, у), с условием [img: http://localhost:8080/file/031405-56.jpg] Решение (т, п, р).диофантова уравнения (*) наз. т р о й к о й Маркова; число т - ч и с л о м Маркова. Форма Маркова fm следующим образом сопоставляется числу Маркова m=max(m, п, р):пусть r, [img: http://localhost:8080/file/031405-57.jpg] определены условиями [img: http://localhost:8080/file/031405-58.jpg] тогда, по определению, [img: http://localhost:8080/file/031405-59.jpg] Множество М - замкнуто, и имеется такое число m0=4,5278..., что [img: http://localhost:8080/file/031405-60.jpg] и к m0 примыкает интервал смежности множества М. Проблема Маркова тесно связана с проблемой Лагранжа - Гурвица рациональных приближений к действительному числу 6. Величина [img: http://localhost:8080/file/031405-61.jpg] где точная верхняя граница берется по всем [img: http://localhost:8080/file/031405-62.jpg] t>0, для к-рых неравенство [img: http://localhost:8080/file/031405-63.jpg] имеет бесконечное множество решений [img: http://localhost:8080/file/031405-64.jpg] наз. постоянной Лагранжа. Множество [img: http://localhost:8080/file/031405-65.jpg] наз. спектром Лагранжа. Первым результатом в теории спектра Лагранжа естественно считать теорему Лагранжа: все подходящие дроби разложения числа в в цепную дробь удовлетворяют неравенству [img: http://localhost:8080/file/031405-66.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031405-67.jpg] т. е. если [img: http://localhost:8080/file/031405-68.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031405-69.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031405-70.jpg] - класс эквивалентных чисел. Если q разложено в цепную дробь [img: http://localhost:8080/file/031405-71.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031405-72.jpg] Таким образом, проблему Лагранжа - Гурвица можно сформулировать так: 1) описать спектр Лагранжа L;2) для каждого [img: http://localhost:8080/file/031405-73.jpg] описать множество чисел q (или классов [img: http://localhost:8080/file/031405-74.jpg]), для к-рых [img: http://localhost:8080/file/031405-75.jpg] Для l(q)<3 эта задача сводится к проблеме Маркова, причем [img: http://localhost:8080/file/031405-76.jpg] и каждому [img: http://localhost:8080/file/031405-77.jpg] отвечает ровно один класс чисел q, описываемых формой Маркова fm. Доказано, что L, как и М,- замкнутое множество, что [img: http://localhost:8080/file/031405-78.jpg] но [img: http://localhost:8080/file/031405-79.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031405-80.jpg] Причем к m0 примыкает интервал смежности множества L. Исследования по структуре L и по связи Lи М описаны в [6]. Об обобщениях и аналогах проблемы спектра Маркова и о "явлении изоляции" см. [2], [3], [7].