Маркова цепь эргодическая

однородная по времени цепь Маркова x(t), обладающая следующим свойством: существуют (не зависящие от i) величины [img: http://localhost:8080/file/031406-14.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031406-15.jpg] - переходные вероятности. Распределение {р j} на множестве состояний цепи x(t) наз. стационарным распределением: если [img: http://localhost:8080/file/031406-16.jpg] при всех j, то [img: http://localhost:8080/file/031406-17.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/031406-18.jpg] и j. Вместе с основным свойством цепи Маркова [img: http://localhost:8080/file/031406-19.jpg] это позволяет находить {р j},не вычисляя пределов в (1). Пусть [img: http://localhost:8080/file/031406-20.jpg] - момент первого возвращения в состояние j (для цепи Маркова с дискретным временем), тогда [img: http://localhost:8080/file/031406-21.jpg] аналогичное (более сложное) соотношение имеет место для цепи Маркова с непрерывным временем. Траектории М. ц. э. удовлетворяют эргодич. теореме: если f(Х) - функция на множестве состояний цепи x(t)> т° в случае дискретного времени [img: http://localhost:8080/file/031406-22.jpg] в случае непрерывного времени первая сумма в левой части заменяется интегралом. Цепь Маркова, для к-рой существуют такие [img: http://localhost:8080/file/031406-23.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031406-24.jpg] что при всех i, j, t [img: http://localhost:8080/file/031406-25.jpg] наз. геометрически эргод и ческой. Достаточным условием для геометрич. эргодичности М. ц. э. является условие Дёблина (см., напр., [1]), к-рое в рассматриваемом здесь случае дискретных (конечных или счетных) цепей Маркова может быть сформулировано так: существуют такие [img: http://localhost:8080/file/031406-26.jpg] и состояние j, что [img: http://localhost:8080/file/031406-27.jpg] Если выполнено условие Дёблина, то для констант в (2) справедливо соотношение [img: http://localhost:8080/file/031406-28.jpg] Необходимым и достаточным условием геометрич. эргодичности счетной цепи Маркова с дискретным временем является следующее (см. [3]): существуют такие числа f(j), q<1 и конечное множество Всостояний цепи, что [img: http://localhost:8080/file/031406-29.jpg]