Матрица

- прямоугольная таблица [img: http://localhost:8080/file/031408-70.jpg] состоящая из тстрок и n столбцов, элементы к-рой [img: http://localhost:8080/file/031408-71.jpg] принадлежат нек-рому множеству К. Таблица (1) наз. также [img: http://localhost:8080/file/031408-72.jpg] -матрицей над К, или мат- рицей размера [img: http://localhost:8080/file/031408-73.jpg] над K. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031408-74.jpg] - совокупность всех [img: http://localhost:8080/file/031408-75.jpg] -матриц над К. Если т=п, то (1) наз. квадратной матрицей порядка га. Множество [img: http://localhost:8080/file/031408-76.jpg] - совокупность всех квадратных М. порядка пнад К. Для М. пользуются также обозначениями [img: http://localhost:8080/file/031408-77.jpg] В наиболее важных случаях в качестве Квыступают поле действительных чисел, поле комплексных чисел, произвольное поле, кольцо многочленов, кольцо целых чисел, кольцо функций, произвольное ассоциативное кольцо. Операции сложения и умножения, определенные на К., естественным образом переносятся на М. над Ки возникает матричное исчисление - предмет теории М. Понятие М. впервые появилось в середине 19 в. в работах У. Гамильтона (W. Hamilton) и А. Кэли (A. Cayley). Фундаментальные результаты в теории М. принадлежат К. Вейерштрассу (К. Weierstrass), К. Жордану (С. Jordan), Г. Фробениусу (G. Frobenius). И. А. Лаппо-Данилевский развил теорию аналитич. функций многих матричных переменных и применил ее к изучению систем линейных дифференциальных уравнений. Действия над матрицами. Пусть К- ассоциативное кольцо, [img: http://localhost:8080/file/031408-78.jpg] Тогда сумма М. Аи В, по определению, равна [img: http://localhost:8080/file/031408-79.jpg] Приятом [img: http://localhost:8080/file/031408-80.jpg] и сложение М. ассоциативно и коммутативно. Нулевой М. из [img: http://localhost:8080/file/031408-81.jpg] наз. М. 0, все элементы к-рой равны нулю. Для всякой [img: http://localhost:8080/file/031408-82.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031408-83.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031408-84.jpg] Произведение М. А и В определяется но правилу [img: http://localhost:8080/file/031408-85.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031408-86.jpg] Произведение двух М. из М n (К)всегда определено и принадлежит [img: http://localhost:8080/file/031408-87.jpg]. Умножение М. ассоциативно: если [img: http://localhost:8080/file/031408-88.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031408-89.jpg] и ABC ОMn,m (K). Верен и дистрибутивный закон: для [img: http://localhost:8080/file/031408-90.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031408-91.jpg] В частности, (2) верно и для [img: http://localhost:8080/file/031408-92.jpg] Следовательно, [img: http://localhost:8080/file/031408-93.jpg] - ассоциативное кольцо. Если К- кольцо с единицей 1, то М. [img: http://localhost:8080/file/031408-94.jpg] будет единицей кольца [img: http://localhost:8080/file/031408-95.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/031408-96.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031408-97.jpg]. Умножение М. некоммутативно: при [img: http://localhost:8080/file/031408-98.jpg] для любого ассоциативного кольца Кс единицей найдутся такие М. Аи Вв М п (К), что [img: http://localhost:8080/file/031408-99.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031408-100.jpg] произведение М. A на элемент (число) [img: http://localhost:8080/file/031408-101.jpg],по определению, равно [img: http://localhost:8080/file/031408-102.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/031408-103.jpg] Пусть К- кольцо с единицей. М. [img: http://localhost:8080/file/031408-104.jpg] определяется как М. в [img: http://localhost:8080/file/031408-105.jpg] единственный ненулевой элемент к-рой равен 1 и расположен на позиции [img: http://localhost:8080/file/031408-106.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031408-107.jpg] Для любой [img: http://localhost:8080/file/031408-108.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/031408-109.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031408-110.jpg] Если К- поле, то [img: http://localhost:8080/file/031408-111.jpg] - векторное пространство над Кразмерности тп, а М. [img: http://localhost:8080/file/031408-112.jpg] составляют один из базисов этого пространства. Клеточная матрица. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031408-113.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031408-114.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031408-115.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031408-116.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031408-117.jpg] - целые положительные числа. Тогда М. [img: http://localhost:8080/file/031408-118.jpg] можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/031408-119.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031408-120.jpg] наз. клеточной. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031408-121.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031408-122.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031408-123.jpg] и Взаписана в виде [img: http://localhost:8080/file/031408-124.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/031408-125.jpg] Напр., если [img: http://localhost:8080/file/031408-126.jpg] можно рассматривать как [img: http://localhost:8080/file/031408-127.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031408-128.jpg] М. Аиз М п (К). вида [img: http://localhost:8080/file/031408-129.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031408-130.jpg] - нулевая М. из [img: http://localhost:8080/file/031408-131.jpg], обозначается [img: http://localhost:8080/file/031408-132.jpg] и наз. клеточно-диагональной. Причем [img: http://localhost:8080/file/031408-133.jpg] если порядки Ai и В i совпадают для i=l,..., к. Квадратные матрицы над полем. Пусть К- поле, [img: http://localhost:8080/file/031408-134.jpg] det А- определитель матрицы А. М. А наз. невырожденной, если [img: http://localhost:8080/file/031408-135.jpg].. М. [img: http://localhost:8080/file/031408-136.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031408-137.jpg] наз. обратной к A, если [img: http://localhost:8080/file/031408-138.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031408-139.jpg]. Обратимость Ав М п (К)равносильна невырожденности и [img: http://localhost:8080/file/031408-140.jpg] где А ij- алгебраическое дополнение элемента ai j; det A-1= (det А)-1. Для Аи В из М п (К) [img: http://localhost:8080/file/031408-141.jpg] Совокупность всех обратимых М. из М п (К)образует группу относительно умножения, к-рая наз. полной линейной группой и обозначается [img: http://localhost:8080/file/031408-142.jpg]. Степени М. Аопределяются следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/031408-143.jpg] для k>0, а если А обратима, то [img: http://localhost:8080/file/031408-144.jpg]. Для многочлена [img: http://localhost:8080/file/031408-145.jpg] определяется матричный многочлен [img: http://localhost:8080/file/031408-146.jpg] Всякая М. из М п (К)задает нек-рое линейное преобразование n-мерного векторного пространства V над К. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031408-147.jpg] базис в V, а [img: http://localhost:8080/file/031408-148.jpg] - линейное преобразование пространства V. Тогда [img: http://localhost:8080/file/031408-149.jpg] однозначно определяется последовательностью векторов [img: http://localhost:8080/file/031408-150.jpg] При этом [img: http://localhost:8080/file/031408-151.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031408-152.jpg]. Матрица [img: http://localhost:8080/file/031408-153.jpg] наз. М. преобразования [img: http://localhost:8080/file/031408-154.jpg] в базисе [img: http://localhost:8080/file/031408-155.jpg]. При фиксированном базисе М. А+В будет М. преобразования [img: http://localhost:8080/file/031408-156.jpg], а АВ- М. преобразования [img: http://localhost:8080/file/031408-157.jpg], где В- М. линейного преобразования [img: http://localhost:8080/file/031408-158.jpg]. Равенства (4) можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/031408-159.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031408-160.jpg] - тоже базис в V. Тогда [img: http://localhost:8080/file/031408-161.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031408-162.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031408-163.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/031408-164.jpg] - М. s в базисе [img: http://localhost:8080/file/031408-165.jpg]. М. Аи Виз М п (К)наз. подобными, если в [img: http://localhost:8080/file/031408-166.jpg] найдется такая М. Т, что [img: http://localhost:8080/file/031408-167.jpg] При этом det [img: http://localhost:8080/file/031408-168.jpg] и ранги матриц Аи Всовпадают. Линейное преобразование [img: http://localhost:8080/file/031408-169.jpg] наз. невырожденным, если [img: http://localhost:8080/file/031408-170.jpg]; [img: http://localhost:8080/file/031408-171.jpg] тогда и только тогда невырождено, когда его М. невырождена. Если Vтрактовать как пространство столбцов [img: http://localhost:8080/file/031408-172.jpg], то линейное преобразование пространства Vпредставляет собой умножение столбцов [img: http://localhost:8080/file/031408-173.jpg] на М. Аиз [img: http://localhost:8080/file/031408-174.jpg] слева: [img: http://localhost:8080/file/031408-175.jpg], и М. преобразования в базисе [img: http://localhost:8080/file/031408-176.jpg] совпадает с А. М. [img: http://localhost:8080/file/031408-177.jpg] тогда и только тогда вырождена, когда в [img: http://localhost:8080/file/031408-178.jpg] существует такой столбец [img: http://localhost:8080/file/031408-179.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/031408-180.jpg] Транспонирование и матрицы специального вида. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031408-181.jpg] Тогда М. [img: http://localhost:8080/file/031408-182.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031408-183.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031408-184.jpg], наз. транспонированной к А. Матрица А т обозначается также t А и А'. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031408-185.jpg] Тогда М. [img: http://localhost:8080/file/031408-186.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031408-187.jpg] - число, комплексно-сопряженное с [img: http://localhost:8080/file/031408-188.jpg], наз. комплексно-сопряженной с А. Матрица [img: http://localhost:8080/file/031408-189.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031408-190.jpg], наз. эрмитово-сопряженной с А. Многие М., используемые в приложениях, имеют специальные названия. Полиномиальные матрицы. Пусть К- поле, К[х]- кольцо всех многочленов от хс коэффициентами из К. М. над К[х]наз. полиномиальной. Для М. из кольца М п (К[х]). вводятся элементарные операции: 1) умножение строки или столбца М. на ненулевой элемент поля К,2) прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца) М., умноженной на многочлен из К[х]. М. Аи Виз [img: http://localhost:8080/file/031408-191.jpg] наз. эквивалентными [img: http://localhost:8080/file/031408-192.jpg], если Вможно получить из Ас помощью конечного числа элементарных операций. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031408-193.jpg] где: 1) [img: http://localhost:8080/file/031408-194.jpg],2) [img: http://localhost:8080/file/031408-195.jpg] делится на [img: http://localhost:8080/file/031408-196.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031408-197.jpg], 3) коэффициенты старших членов многочленов [img: http://localhost:8080/file/031408-198.jpg] равны 1. Тогда Nназ. канонической полиномиальной М. В каждом классе эквивалентных М. кольца М п (К[х])содержится единственная ка-нонич. М. Многочлены f1(x),...,fr(x) где [img: http://localhost:8080/file/031408-199.jpg] - каноническая М., а [img: http://localhost:8080/file/031408-200.jpg], наз. инвариантными множителями М. А;число rсовпадает с рангом М. А. Матрица Аиз М п (К[х])тогда и только тогда имеет обратную в М п (К[х]), когда [img: http://localhost:8080/file/031408-201.jpg]. В свою очередь [img: http://localhost:8080/file/031408-202.jpg]. Матрицы Аи Виз М п(К,[х]). тогда и только тогда эквивалентны, когда [img: http://localhost:8080/file/031408-203.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031408-204.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031408-205.jpg]. Матрица [img: http://localhost:8080/file/031408-206.jpg] наз. характеристической матрицей матрицы А, а [img: http://localhost:8080/file/031408-207.jpg] - характеристическим многочленом М. А. Для любого многочлена вида [img: http://localhost:8080/file/031408-208.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031408-209.jpg] существует М. F, для к-рой [img: http://localhost:8080/file/031408-210.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031408-211.jpg] Такова, напр., матрица [img: http://localhost:8080/file/031408-212.jpg] Характеристич. многочлены двух подобных М. совпадают. Однако из совпадения характеристич. многочленов двух М. еще не вытекает подобие этих М. Критерий подобия: Аи В из М п (К). тогда и только тогда подобны, когда полиномиальные М. хЕ п- А и хЕ п -Вэквивалентны. Множество всех М. из М п (К), имеющих заданный характеристич. многочлен f(x), разбивается на конечное число классов подобных М., это множество состоит из одного класса тогда и только тогда, когда f(x)не имеет кратных множителей в К[х]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031408-213.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031408-214.jpg]. Тогда vназ. собственным вектором М. А, а [img: http://localhost:8080/file/031408-215.jpg] - собственным значением. Элемент [img: http://localhost:8080/file/031408-216.jpg] из Ктогда и только тогда является собственным значением М. А, когда [img: http://localhost:8080/file/031408-217.jpg] - корень характеристич. многочлена М. А. Совокупность всех столбцов [img: http://localhost:8080/file/031408-218.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/031408-219.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031408-220.jpg] - фиксированное собственное значение М. А, является подпространством пространства [img: http://localhost:8080/file/031408-221.jpg]. Размерность этого подпространства равна дефекту dM. [img: http://localhost:8080/file/031408-222.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/031408-223.jpg]). Число dне превышает кратности корня [img: http://localhost:8080/file/031408-224.jpg], но не обязательно совпадает с ней. Матрица Аиа [img: http://localhost:8080/file/031408-225.jpg] тогда и только тогда подобна нек-рой диагональной М., когда Аимеет п линейно независимых собственных векторов. Если для [img: http://localhost:8080/file/031408-226.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031408-227.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031408-228.jpg] различны, то верно следующее: Атогда и только тогда подобна диагональной М., когда для каждого [img: http://localhost:8080/file/031408-229.jpg] дефект М. [img: http://localhost:8080/file/031408-230.jpg] совпадает с [img: http://localhost:8080/file/031408-231.jpg] В частности, М., имеющая празличных собственных значений, подобна диагональной. Для алгебраически замкнутого поля любая М. из М п (К)подобна нек-рой треугольной М. из М п (К)-Теорема Гамильтона - Кэли: пусть f(x)- характеристич. многочлен М. А, тогда f(A)- нулевая М. Минимальным многочленом М. [img: http://localhost:8080/file/031408-232.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031408-233.jpg] наз. многочлен [img: http://localhost:8080/file/031408-234.jpg] такой, что: 1) т(А) = 0,2) коэффициент старшего члена т(х)равен 1, 3) если [img: http://localhost:8080/file/031408-235.jpg], а степень [img: http://localhost:8080/file/031408-236.jpg] меньше степени т(х), то [img: http://localhost:8080/file/031408-237.jpg]. Всякая М. обладает единственным минимальным многочленом. Если [img: http://localhost:8080/file/031408-238.jpg] то g(x)делится на минимальный многочлен т(х)М. А. Минимальный многочлен М. Асовпадает с последним инвариантным множителем М. [img: http://localhost:8080/file/031408-239.jpg] а характеристич. многочлен - с произведением всех инвариантных множителей. Минимальный многочлен М. равен [img: http://localhost:8080/file/031408-240.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031408-241.jpg] -наибольший общий делитель миноров порядка n-1 М. [img: http://localhost:8080/file/031408-242.jpg]. М. Аиз [img: http://localhost:8080/file/031408-243.jpg] тогда и только тогда подобна диагональной М. над полем К, когда ее минимальный многочлен есть произведение различных линейных множителей из кольца К[х]. М. [img: http://localhost:8080/file/031408-244.jpg] наз. нильпотентной, если [img: http://localhost:8080/file/031408-245.jpg] для нек-рого целого k.M. нильпотентна тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031408-246.jpg] Любая нильпотентная М. из [img: http://localhost:8080/file/031408-247.jpg] подобна нек-рой треугольной М. с нулевой диагональю.