Матричная игра

- антагонистическая игра, в к-рой каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий. Если игрок I имеет тстратегий, а игрок II имеет пстратегий, то М. и. может быть задана [img: http://localhost:8080/file/031408-272.jpg] матрицей [img: http://localhost:8080/file/031408-273.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031408-274.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031408-275.jpg] есть выигрыш игрока I, если он выбирает стратегию i, а игрок II - стратегию j. Согласно общему принципу оптимальности в антагонистич. играх (см. также Мини-макса принцип), игрок I стремится выбрать такую стратегию [img: http://localhost:8080/file/031408-276.jpg], на к-рой достигается [img: http://localhost:8080/file/031408-277.jpg] а игрок II стремится выбрать стратегию [img: http://localhost:8080/file/031408-278.jpg], на к-рой достигается [img: http://localhost:8080/file/031408-279.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031408-280.jpg] то пара [img: http://localhost:8080/file/031408-281.jpg] составляет седловую точку игры; число [img: http://localhost:8080/file/031408-282.jpg] есть значение игры, а стратегии [img: http://localhost:8080/file/031408-283.jpg] суть оптимальные чистые стратегии. Если [img: http://localhost:8080/file/031408-284.jpg] (т. е. решения в чистых стратегиях нет), то всегда [img: http://localhost:8080/file/031408-285.jpg] В этом случае оптимальные стратегии игроков следует искать среди их смешанных стратегий. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031408-286.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/031408-287.jpg]) - множество смешанных стратегий игрока I (соответственно игрока II). Тогда игрок I будет стремиться к стратегии [img: http://localhost:8080/file/031408-288.jpg], на к-рой достигается [img: http://localhost:8080/file/031408-289.jpg] а игрок II - к стратегии y*, на к-рой достигается [img: http://localhost:8080/file/031408-290.jpg] (символом т обозначено транспонирование). Основная теорема теории М. и. (теорема Неймана о минимаксе) утверждает, что [img: http://localhost:8080/file/031408-291.jpg] т. е. для любой М. и. существуют оптимальные смешанные стратегии х*, у* и значение игры v. Для численного решения М. и. (т. е. нахождения оптимальных стратегий и значения игры) чаще всего используют возможность сведения М. и. к задаче линейного программирования. Менее эффективен итеративный метод Брауна - Робинсон, к-рый состоит в фиктивном "разыгрывании" М. и., причем игроки на каждом шаге выбирают наилучшие чистые стратегии в условиях "накопленной" смешанной стратегии противника. М. и., в к-рых один из игроков имеет только две стратегии, просто решаются графич. методом. М. и. могут служить математич. моделями многих простейших конфликтных ситуаций из области экономики, математич. статистики, военного дела, биологии. В приложениях в качестве одного из игроков нередко рассматривают "природу", под к-рой понимается вся совокупность внешних обстоятельств, неизвестных принимающему решение Лицу (другому игроку).