Матьё уравнение

- обыкновенное линейное дифференциальное уравнение [img: http://localhost:8080/file/031408-374.jpg] с действительными коэффициентами. Введено Э. Матьё [1] при исследовании колебаний эллиптич. мембраны; частный случай Хилла уравнения. Фундаментальная система решений М. у. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031408-375.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031408-376.jpg], п- целое, где [img: http://localhost:8080/file/031408-377.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/031408-378.jpg] -периодическая функция, а Ляпунова характеристический показательa. либо действительный, либо чисто мнимый. При [img: http://localhost:8080/file/031408-379.jpg] одно из решений неограниченно возрастает, а другое стремится к нулю для [img: http://localhost:8080/file/031408-380.jpg] (зоны неустойчивости на плоскости ab параметров), при [img: http://localhost:8080/file/031408-381.jpg] эти решения ограничены (зоны устойчивости). На границе этих зон (случай, исключенный в (*)) одна из функций фундаментальной системы решений М. у. либо p-периодична, либо [img: http://localhost:8080/file/031408-382.jpg] -периодична (последняя наз. Матьё функцией), а вторая получается из первой умножением на z. Зоны неустойчивости имеют вид криволинейных треугольников с вершинами в точках a=n2, b=0, n=0, 1, 2,... (см. [2], [4]). М. у. имеет и другую форму (см. [3]).