Маурера - картана форма

- левоинвариантная 1-форма на группе Ли G, т. е. дифференциальная форма [img: http://localhost:8080/file/031408-394.jpg] степени 1 на G, удовлетворяющая условию [img: http://localhost:8080/file/031408-395.jpg] для любого левого сдвига [img: http://localhost:8080/file/031408-396.jpg] М.- К. ф. на Gнаходятся во взаимно однозначном соответствии с линейными формами на касательном пространстве [img: http://localhost:8080/file/031408-397.jpg] в точке е; точнее, соответствие, сопоставляющее каждой М.- К. ф. [img: http://localhost:8080/file/031408-398.jpg] ее значение [img: http://localhost:8080/file/031408-399.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/031408-400.jpg], является изоморфизмом пространства М.- К. ф. на [img: http://localhost:8080/file/031408-401.jpg]. Дифференциал М.- К. ф. есть левоинвариантная 2-форма на G, определяемая формулой [img: http://localhost:8080/file/031408-402.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031408-403.jpg] - любые левоинвариантные векторные поля на G. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031408-404.jpg] - базис в [img: http://localhost:8080/file/031408-405.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/031408-406.jpg], i=l,..., n,- такая М.- К. ф., что [img: http://localhost:8080/file/031408-407.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/031408-408.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031408-409.jpg] - структурные константы алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/031408-410.jpg] группы G, состоящей из левоинвариантных векторных полей на G, в базисе [img: http://localhost:8080/file/031408-411.jpg] таком, что [img: http://localhost:8080/file/031408-412.jpg] Равенства (2) (или (1)) наз. уравнениями Маурера - Картана. Первым их получил (в иной, по эквивалентной форме) Л. Маурер [1]. Формы wi были введены Э. Картаном в 1904 (см. [2]). Пусть [img: http://localhost:8080/file/031408-413.jpg] - канонич. координаты в окрестности точки ена G, определенные базисом [img: http://localhost:8080/file/031408-414.jpg] Тогда формы [img: http://localhost:8080/file/031408-415.jpg] записываются в виде [img: http://localhost:8080/file/031408-416.jpg] причем матрица [img: http://localhost:8080/file/031408-417.jpg] вычисляется по формуле [img: http://localhost:8080/file/031408-418.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031408-419.jpg] - присоединенное представление алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/031408-420.jpg] Далее, пусть [img: http://localhost:8080/file/031408-421.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/031408-422.jpg] -значная 1-форма на G, сопоставляющая каждому касательному вектору к Gединственное левоинвариантное векторное поле, содержащее этот вектор (каноническая левая дифференциальная форма). Тогда [img: http://localhost:8080/file/031408-423.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031408-424.jpg] что является еще одной записью уравнений Маурера - Картана.