Мергеляна теорема

- теорема о возможности равномерной полиномиальной аппроксимации функций комплексного переменного. Пусть К- компакт со связным дополнением на плоскости [img: http://localhost:8080/file/031409-641.jpg] комплексного переменного z. Тогда всякая функция f, непрерывная на Ки голоморфная в его внутренних точках, равномерно на Кприближается многочленами от z. Эта теорема была доказана С. Н. Мергеляном (см. [1], [2]); она завершила большой цикл исследований по теории приближений в комплексной плоскости и имеет много применений в различных разделах комплексного анализа. В случае, когда Кне имеет внутренних точек, это утверждение было доказано М. А. Лаврентьевым [3]; а для случая, когда К- замкнутая область со связным дополнением, соответствующая теорема доказана М. В. Келдышем [4]. Из М. т. вытекает следующее утверждение. Пусть К - произвольный компакт на плоскости [img: http://localhost:8080/file/031409-642.jpg]. Для того чтобы функция f, непрерывная на Ки голоморфная внутри К, равномерно приближалась многочленами от 2, необходимо и достаточно, чтобы f голоморфно продолжалась во все ограниченные связные компоненты множества [img: http://localhost:8080/file/031409-643.jpg]. Задача о приближении многочленами является частным случаем задачи о приближении рациональными функциями с полюсами вне К. С. Н. Мергелян доказал также несколько достаточных условий рациональной аппроксимации (см. [2]). Полное решение этой задачи (для компактов [img: http://localhost:8080/file/031409-644.jpg]) получено в терминах аналити ческих емкостей (см. [5]). К М. т. примыкает большой цикл работ о полиномиальных, рациональных и голоморфных приближениях в пространстве многих комплексных переменных С". Здесь получены пока только частные результаты для специальных типов компактов.