Метрика

расстояние на множестве X,- определенная на декартовом произведении [img: http://localhost:8080/file/031410-187.jpg] функция р с неотрицательными действительными значениями, удовлетворяющая при. любых [img: http://localhost:8080/file/031410-188.jpg] условиям: 1) [img: http://localhost:8080/file/031410-189.jpg] тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031410-190.jpg] (аксиома тождества); 2) [img: http://localhost:8080/file/031410-191.jpg] (аксиома треугольника); 3) [img: http://localhost:8080/file/031410-192.jpg] (аксиома симметрии). Множество X, на к-ром может быть введена М., наз. метризуемым. Множество X, наделенное некоторой М., наз. метрическим пространством. Примеры. 1) На любом множестве имеется дискретная метрика: [img: http://localhost:8080/file/031410-193.jpg] 2) В пространстве [img: http://localhost:8080/file/031410-194.jpg] возможны разные М., среди них: [img: http://localhost:8080/file/031410-195.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/031410-196.jpg] 3) В римановом пространстве М. определяется метрическим тензором или дифференциальной квадратичной формой (в нек-ром смысле это - аналог первой М. из примера 2)). Обобщение М. этого типа см. в ст. Финслерово пространство. 4) В функциональных пространствах над (би)компактом X также вводятся разные М., напр, равномерная метрика [img: http://localhost:8080/file/031410-197.jpg] (аналог второй М., из примера 2)), интегральная метрика [img: http://localhost:8080/file/031410-198.jpg] 5) В нормированном пространстве над [img: http://localhost:8080/file/031410-199.jpg] М. определяется через норму [img: http://localhost:8080/file/031410-200.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/031410-201.jpg] В нормированном кольце - более сложная формула: [img: http://localhost:8080/file/031410-202.jpg] 6) В метрич. пространстве вводится другая М.- т. н. внутренняя метрика. 7) В пространстве замкнутых подмножеств метрич. пространства определяется хаусдорфова метрика. Следует заметить, что в традиционном определении М. условие 3) и требование неотрицательности излишни, т. е. вытекают уже из достаточности условия 1) и условия 2). Если вместо 1) выполняется лишь условие: [img: http://localhost:8080/file/031410-203.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/031410-204.jpg] (так что при [img: http://localhost:8080/file/031410-205.jpg] не всегда [img: http://localhost:8080/file/031410-206.jpg]), функция [img: http://localhost:8080/file/031410-207.jpg] наз. псевдометрикой [2], [3], или отклонением [4]. М. (и даже псевдометрика) позволяет определить ряд дополнительных структур на множестве X. Прежде всего, это - топология (см. Топологическое пространство), кроме того - равномерная (см. Равномерное пространство)или близостная (см. Близости пространство)структуры. Термин М. используется также и для обозначения более общих понятий, к-рые не обладают всеми свойствами 1) - 3), таковы, напр., индефинитная метрика, симметрика и т. д.