Метрическое пространство

- множество Xвместе с нек-рой метрикойr на ном. Теоретико-множественный подход к изучению фигур (пространств) основан на исследовании взаимного расположения составляющих их элементарных частей. Одной из фундаментальных характеристик взаимного расположения точек пространства является расстояние между ними. Этот подход к пространственным отношениям и приводит к понятию М. п., впервые выделенному М. Фрепте [2] в связи с рассмотрением функциональных пространств. Оказалось, что естественную метрику несут на себе множества объектов самой разной природы. Как М. Развитие теории М. п. шло по следующим важнейшим направлениям. Общая теория М. п. В ней исследуются свойства М. п., инвариантные относительно изометрий - взаимно однозначных отображений на, сохраняющих расстояние. К числу таких свойств относятся полнота, ограниченность, вполне ограниченность, диаметр. Свойства этого типа наз. метрическими. Топологическая теория М. Теория пространств, на к-рых задана метрика, согласованная с какой-либо дополнительной алгебраич. структурой (напр., векторного пространства или группы). Сюда относятся евклидовы пространства, предгильбертовы и гильбертовы пространства (любого веса), банаховы пространства, банаховы алгебры, банаховы решетки, счетно нормированные пространства. Имеющиеся здесь факты существенно связаны с рассмотрением важных в идей ном отношении свойств метрик или норм, но по содержанию целиком принадлежат соответствующим областям алгебры и функционального анализа. Рассмотрение специальных метрик играет важную роль при исследовании неевклидовых геометрий, в дифференциальной геометрии, механике и физике. Центральное место здесь занимает понятие римановой метрики риманова пространства (см. Риманова геометрия). Более широкий подход к изучению поверхностей и фигур, возникающих в дифференциальной геометрии, связан с концепцией G-пространства, получающейся добавлением к аксиомам метрики нек-рых условий (см. Геодезических геометрия), создающих основу для рассмотрения геодезических в G-пространстве, обеспечивая их существование и правильные свойства. Характерным здесь является отказ от пользования методами дифференциального исчисления, при этом обнаруживается, что многое в дифференциальной геометрии не связано с условиями дифференцируемости, а определяется только геометрич. аксиомами. Геометрия геодезических представляет интерес не только как обобщение римановой геометрии, но и как попытка заменить вычисления рассуждениями, сделать исследование геометрич. объектов более геометричным. На каждом множестве Xможет быть определена метрика [img: http://localhost:8080/file/031411-11.jpg] по следующему правилу: [img: http://localhost:8080/file/031411-12.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/031411-13.jpg], и [img: http://localhost:8080/file/031411-14.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/031411-15.jpg] Эта метрика наз. тривиальной. Каждая метрика [img: http://localhost:8080/file/031411-16.jpg] на множестве Xпозволяет естественным образом ввести на Xтопологию [img: http://localhost:8080/file/031411-17.jpg] Концепция топологич. пространства заключает в себе аксиоматизацию отношения абсолютной близости точки к множеству, тогда как концепцией М. п. формализуется отношение сравнительной близости между точками. Расстояние [img: http://localhost:8080/file/031411-18.jpg] от точки хдо множества Ав М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-19.jpg] определяется как [img: http://localhost:8080/file/031411-20.jpg] Точка хобъявляется абсолютно близкой ко множеству А, если [img: http://localhost:8080/file/031411-21.jpg]. Замыканием [А]множества Ав [img: http://localhost:8080/file/031411-22.jpg] наз. множество всех точек из X, абсолютно близких к А. Однозначно отвечающая этой операции топология на множестве X и наз. топологией, порожденной на X метрикой [img: http://localhost:8080/file/031411-23.jpg]. Тривиальной метрике на Xотвечает дискретная топология - все множества замкнуты. В исследовании М. п. (особенно их топологич. свойств) важная роль принадлежит понятию сходящейся последовательности. Это объясняется тем, что топология каждого М. п. может быть полностью описана на языке последовательностей. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031411-24.jpg] - последовательность точек в М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-25.jpg]. Она наз. сходящейся к точке [img: http://localhost:8080/file/031411-26.jpg], если для каждого [img: http://localhost:8080/file/031411-27.jpg] найдется целое число Nтакое, что [img: http://localhost:8080/file/031411-28.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/031411-29.jpg]. Последовательность [img: http://localhost:8080/file/031411-30.jpg] наз. фундаментальной, если для каждого [img: http://localhost:8080/file/031411-31.jpg] найдется целое число Nтакое, что [img: http://localhost:8080/file/031411-32.jpg] при всех т, n>N. Важным метрич. свойством является полнота - М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-33.jpg] наз. полным, если каждая фундаментальная последовательность в нем сходится к нек-рой его точке. Пространство [img: http://localhost:8080/file/031411-34.jpg] полно. Полнота М. п. не является топологич. свойством: М. п., гомеоморфное полному М. п., может не быть полным, напр, действительная прямая [img: http://localhost:8080/file/031411-35.jpg] с обычной метрикой [img: http://localhost:8080/file/031411-36.jpg] гомеоморфна интервалу [img: http://localhost:8080/file/031411-37.jpg], наделенному той же метрикой, однако первое М. п. полно, а второе - нет. Примерами полных М. п. могут служить евклидовы и банаховы пространства. Важным свойством полных М. п., сохраняющимся при гомеоморфизмах, является Бэра свойство, в силу к-рого каждое полное М. п. без изолироваяных точек несчетно. Поэтому обычная топология пространства рациональных чисел не порождается никакой полной метрикой. Однако каждое М. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031411-42.jpg] - множество всех возникающих классов эквивалентности. Метрика [img: http://localhost:8080/file/031411-44.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031411-45.jpg] вводится правилом: [img: http://localhost:8080/file/031411-43.jpg] Для [img: http://localhost:8080/file/031411-46.jpg] пусть [img: http://localhost:8080/file/031411-47.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031411-48.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/031411-49.jpg]. Тогда [img: http://localhost:8080/file/031411-50.jpg] - полное М. п. и [img: http://localhost:8080/file/031411-51.jpg] - изометрич. отображение пространства [img: http://localhost:8080/file/031411-52.jpg] на всюду плотное подпространство в [img: http://localhost:8080/file/031411-53.jpg] (в связи с чем [img: http://localhost:8080/file/031411-54.jpg] и наз. пополнением пространства [img: http://localhost:8080/file/031411-55.jpg]). С рассмотрением пополнений связана Лаврентьева теорема о продолжении гомеоморфизмов. Из нее следует, что свойство М. п. быть множеством типа [img: http://localhost:8080/file/031411-56.jpg] в своем пополнении топологически инвариантно (в отличие от неинвариантности самой метрич. полноты относительно гомеоморфизмов). Метрики [img: http://localhost:8080/file/031411-57.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031411-58.jpg] на множестве Xназ. топологически эквивалентными, если совпадают порожденные ими топологии [img: http://localhost:8080/file/031411-59.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031411-60.jpg]. На конечном множестве все метрики эквивалентны - он порождают дискретную топологию. Теорема Александрова - Хаусдорфа: метрика [img: http://localhost:8080/file/031411-61.jpg] на множестве Xтопологически эквивалентна нек-рой полной метрике в том и только в том случае, если Xявляется множеством типа Gd в пополнении М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-62.jpg] В частности, пространство иррациональных чисел с обычной метрикой (не полное относительно ее) гомео-морфно полному метрич. пространству Бэра, точками к-рого являются всевозможные бесконечные последовательности [img: http://localhost:8080/file/031411-63.jpg] натуральных чисел, а расстояние задается правилом: [img: http://localhost:8080/file/031411-64.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031411-65.jpg] таково, что [img: http://localhost:8080/file/031411-66.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031411-67.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/031411-68.jpg] Важен следующий пример полного М. п.: пространство [img: http://localhost:8080/file/031411-69.jpg], составленное из всех непрерывных функций, определенных на отрезке [img: http://localhost:8080/file/031411-70.jpg], и несущее на себе метрику, определенную правилом [img: http://localhost:8080/file/031411-71.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031411-72.jpg]. Пространство [img: http://localhost:8080/file/031411-73.jpg] сепарабельно - в нем есть счетное всюду плотное множество. Оказывается, каждое сепарабельное М. п. изометрично нек-рому подпространству [img: http://localhost:8080/file/031411-74.jpg] (теорема Банаха - Мазура). Этот результат означает, в частности, что все метрики, порождающие сепарабельные топологии, оправданы (ибо изометричное пространство может быть получено сужением естественной метрики множества непрерывных функций). Подмножество У полного М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-75.jpg], наделенное той же метрикой [img: http://localhost:8080/file/031411-76.jpg] (точнее, ее сужением на [img: http://localhost:8080/file/031411-77.jpg]), является полным М. п., если и только если Y замкнуто в [img: http://localhost:8080/file/031411-78.jpg] Существует фундаментальная связь между понятиями полноты и компактности М. п. Компактность М. п. X, р равносильна любому из следующих условий: 1) любая последовательность в [img: http://localhost:8080/file/031411-79.jpg] содержит сходящуюся предпоследовательность; 2) каждое счетное открытое покрытие пространства [img: http://localhost:8080/file/031411-80.jpg] содержит конечное подпокрытие; 3) в любом открытом покрытии пространства [img: http://localhost:8080/file/031411-81.jpg] найдется конечное подпокрытие; 4) каждая убывающая последовательность непустых замкнутых в [img: http://localhost:8080/file/031411-82.jpg] множеств имеет непустое пересечение; 5) каждое замкнутое дискретное подпространство пространства [img: http://localhost:8080/file/031411-83.jpg] конечно. Простейшие примеры компактных М. п.: конечные дискретные пространства, любой отрезок (с концами), квадрат, окружность, сфера. Вообще, подпространство евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/031411-84.jpg], взятое в обычной метрике, компактно в том и только в том случае, если оно замкнуто в [img: http://localhost:8080/file/031411-85.jpg] и ограничено. Не все из перечисленных условий равносильны за пределами класса М. п. (см. Бикомпактное пространство). А. Лебег (Н. Lebesgue, 1911) установил, что для каждого открытого покрытия [img: http://localhost:8080/file/031411-86.jpg] компактного М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-87.jpg] существует числотакое, [img: http://localhost:8080/file/031411-88.jpg] что всякое множество [img: http://localhost:8080/file/031411-89.jpg] диаметра [img: http://localhost:8080/file/031411-90.jpg] содержится в некотором элементе покрытия [img: http://localhost:8080/file/031411-91.jpg]. Отсюда следует фундаментальное свойство компактных М. п., характеризующее их в классе всех М. п.: всякое непрерывное отображение такого пространства в произвольное М. п. равномерно непрерывно. Далее, М. п. компактно в том и только в том случае, если каждая непрерывная действительная функция на нем ограничена (и достигает наименьшего и наибольшего значений). Каждое компактное М. п. полно, но обратное неверно; простейшим примером служит бесконечное дискретное пространство, наделенное тривиальной метрикой. Но имеет место следующая характеристика: М. п. компактно в том и только в том случае, если всякое гомеоморфное ему М. п. полно. Интуитивно очевидно, что компактность включает, помимо полноты, условие типа ограниченности, что подтверждается рассмотрением компактных подпространств в [img: http://localhost:8080/file/031411-92.jpg]. В общем случае М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-93.jpg] наз. ограниченным, если существует действительное число атакое, что [img: http://localhost:8080/file/031411-94.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031411-95.jpg]. Каждое компактное М. п. ограничено. Пространство [img: http://localhost:8080/file/031411-96.jpg] полно и ограничено, но не компактно, если Xбесконечно, так что полнота и ограниченность в совокупности недостаточны для компактности М. п. Вообще, всякая метрика на любом множестве топологически эквивалентна нек-рой ограниченной метрике - полной, если заданная метрика полна. В связи с этим получает важное значение понятие вполне ограниченности. М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-97.jpg] наз. вполне ограниченным, если для каждого [img: http://localhost:8080/file/031411-98.jpg] существует конечное множество [img: http://localhost:8080/file/031411-99.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/031411-100.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/031411-101.jpg]. Множество [img: http://localhost:8080/file/031411-102.jpg] наз. при этом [img: http://localhost:8080/file/031411-103.jpg] -сетью в [img: http://localhost:8080/file/031411-104.jpg]. М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-105.jpg] компактно, если и только если оно полно и вполне ограничено, и [img: http://localhost:8080/file/031411-106.jpg] вполне ограничено в том и только в том случае, если оно изометрично подпространству нек-рого компактного М. п. Точнее, вполне ограниченность М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-107.jpg] равносильна компактности его пополнения [img: http://localhost:8080/file/031411-108.jpg]. Каждое подпространство вполне ограниченного М. п. вполне ограничено. Все вполне ограниченные М. п. (в частности, все компактные М. п.) сепарабельны и обладают счетной базой. Компактность, вообще говоря, не наследуется подпространствами; множество [img: http://localhost:8080/file/031411-109.jpg] компактно в М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-110.jpg], если замыкание Ав [img: http://localhost:8080/file/031411-111.jpg] является компактным М. п. Если [img: http://localhost:8080/file/031411-112.jpg] полно, то компактность множества [img: http://localhost:8080/file/031411-113.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031411-114.jpg] равносильна вполне ограниченности А, наделенного метрикой [img: http://localhost:8080/file/031411-115.jpg]. Важную роль в функциональном анализе играет критерий компактности произвольного множества Анепрерывных функций, определенных на отрезке [img: http://localhost:8080/file/031411-116.jpg], в М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-117.jpg], заключенный в следующей теореме Арцела - Асколи: множество Акомпактно в [img: http://localhost:8080/file/031411-118.jpg] если и только если выполняются условия: 1) существует число Мтакое, что [img: http://localhost:8080/file/031411-119.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/031411-120.jpg] и всех [img: http://localhost:8080/file/031411-121.jpg];.2) для каждого [img: http://localhost:8080/file/031411-122.jpg] найдется [img: http://localhost:8080/file/031411-123.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/031411-124.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031411-125.jpg] и всех [img: http://localhost:8080/file/031411-126.jpg] для к-рых [img: http://localhost:8080/file/031411-127.jpg] Отображение f М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-128.jpg] в себя наз. сжимающим, если существует действительное число [img: http://localhost:8080/file/031411-129.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/031411-130.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/031411-131.jpg]. Важной теоремой о полных М. п. является принцип сжимающих (сжатых) отображений: для каждого такого отображения (непустого) полного М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-132.jpg] в себя существует ровно одна неподвижная точка. Топологич. теория М. п. значительно проще общей теории топологич. пространств. Ниже приводятся наиболее важные топологич. свойства М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-133.jpg] - имеются ввиду свойства топологии [img: http://localhost:8080/file/031411-134.jpg], порожденной метрикой. Каждое М. п. нормально и даже коллективно нормально. Это позволяет продолжать непрерывные действительные функции с замкнутых подмножеств М. п. на все пространство. Более сильное утверждение: для каждого замкнутого подмножества YМ. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-135.jpg] существует линейное отображение [img: http://localhost:8080/file/031411-136.jpg] пространства всех непрерывных действительных функций на [img: http://localhost:8080/file/031411-137.jpg] в пространство всех непрерывных действительных функций на [img: http://localhost:8080/file/031411-138.jpg] такое, что (каково бы ни было f) [img: http://localhost:8080/file/031411-139.jpg] является продолжением функции [img: http://localhost:8080/file/031411-140.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031411-141.jpg] (теорема Дугунджи). Эта теорема связана с теоремой Хаусдорфа о продолжении метрики: если замкнутое подпространство Yметризуемого пространства Xуже метризовано метрикой r1 (порождающей на Y топологию подпространства X), то можно продолжить r1. до метрики р на всем X, порождающей исходную топологию на X. Аналогичные утверждения справедливы для вполне ограниченных метрик и полных метрик. Исследование топологич. свойств М. п. в большей степени основывается на следующей теореме Стоуна: М. п. паракомпактно, т. о. в любое его открытое покрытие g можно вписать локально конечное открытое покрытие l(локальная конечность означает наличие у каждой точки окрестности, задевающей лишь конечное множество элементов покрытия l). На теореме о паракомпактности М. п. основан метризационный критерий Нагаты - Смирнова (см. Метризуемое пространство). Для М. п. имеют место важные теоремы об эквивалентности топологич. свойств, различаемых в рамках общей топологии. Так, совпадают следующие карди-нальнозначные инварианты: плотность, вес, число Суслина, число Линделёфа. Для М. п. равносильны: счетная компактность, псевдокомпактность и бикомпактность. Для М. п. совпадают размерности dim (в смысле покрытий) и Ind (большая индуктивная), а для сепарабельных М. п. с dim и Ind совпадает и малая индуктивная размерность ind (см. Размерности теория). Каждое М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-142.jpg] звездно нормально: в любое открытое покрытие упространства [img: http://localhost:8080/file/031411-143.jpg] можно вписать открытое покрытие l. звездно, т. е. так, что для каждой точки [img: http://localhost:8080/file/031411-144.jpg] найдется [img: http://localhost:8080/file/031411-145.jpg], содержащее всякое [img: http://localhost:8080/file/031411-146.jpg], для к-рого. [img: http://localhost:8080/file/031411-147.jpg] С этой теоремой связан критерий метризуемости (Стоуна-Архангельского). Критерием метризуемости регулярного пространства вполне ограниченной метрикой является наличие в этом пространстве счетной базы - но даже счетное регулярное пространство может быть не метризуемо. Простейший пример получается присоединением к дискретному натуральному ряду какой-нибудь одной точки из нароста Стоуна- Чеха бикомпактного расширения натурального ряда. Неожиданный характер носит критерий метризуемости метризуемого пространства Xполной метрикой - для этого необходимо и достаточно, чтобы Xбыло множеством типа Gd. в каком-нибудь (а тогда и в любом) бикомпактном хаусдорфовом расширении пространства X. Впрочем, бикомпактные хаусдорфовы расширения М. п. несут полную информацию о топологии последних, как это видно из теоремы Чеха: М. п. гомеоморфны в том и только в том случае, если гомеоморфны их расширения Стоуна - Чеха. М. п. может не иметь счетной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счетности - имеет счетную базу в каждой точке. Более того, каждый компакт в М. п. имеет счетную базу окрестностей. Сверх того, в каждом М. п. существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счетному множеству ее элементов - точечно-счетная база, но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости. Не обязано быть метризуемым и регулярное сепарабельное пространство с первой аксиомой счетности. Просто выглядит условие метризуемости отделимой топологич. группы - для этого необходимо и достаточно, чтобы пространство группы удовлетворяло первой аксиоме счетности, причем на группе тогда существуют как левоинвариантная, так и правоинвариантная метрики, порождающие ее топологию. С каждым М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-148.jpg] стандартным образом связано другое М. п., а именно пространство [img: http://localhost:8080/file/031411-149.jpg] всех его непустых замкнутых подмножеств, несущее на себе метрику Хаусдорфа, определяемую следующей формулой: [img: http://localhost:8080/file/031411-150.jpg] Пространство [img: http://localhost:8080/file/031411-151.jpg] изометрично замкнутому подпространству полученного М. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-152.jpg]. Если метрика r полна, то и метрика [img: http://localhost:8080/file/031411-153.jpg] полна. Но из топологич. эквивалентности метрик [img: http://localhost:8080/file/031411-154.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031411-155.jpg], заданных на X, не следует, вообще говоря, что отвечающие им метрики Хаусдорфа [img: http://localhost:8080/file/031411-156.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031411-157.jpg] топологически эквивалентны. Непрерывный образ М. п. может быть не гомеоморфен никакому М. п., даже удовлетворяя аксиоме отделимости Хаусдорфа. Это относится и к факторпространствам М. п. Напр., если на плоскости "склеить" в точку фиксированную прямую, взяв в качестве отдельных элементов разбиения все точки плоскости, не попавшие на эту прямую, то получится неметризуемое нормальное сепарабельное пространство - в особой его точке не выполняется первая аксиома счетности. Имеется общий критерий метризуемости факторпространства М. п. (см. 16]). В частности, пространство непрерывного разбиения М. п. на компакты всегда метризуемо. Всякое хаусдорфово пространство, являющееся непрерывным образом компактного М. п., метризуемо и компактно - это частное проявление общего положения о неповышении веса топологич. пространства при непрерывном отображении на бикомпакт. Но и когда образ YМ. п. [img: http://localhost:8080/file/031411-158.jpg] метризуем, метрику, осуществляющую метризацию Y, не удается получить из метрики [img: http://localhost:8080/file/031411-159.jpg] посредством какой-либо формулы. Вместо метрики на [img: http://localhost:8080/file/031411-160.jpg] по [img: http://localhost:8080/file/031411-161.jpg] естественно определяется функция dпосредством правила: [img: http://localhost:8080/file/031411-162.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/031411-163.jpg] равно расстоянию в смысле р между прообразами точек [img: http://localhost:8080/file/031411-164.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031411-165.jpg] при рассматриваемом отображении. Часто (напр., если [img: http://localhost:8080/file/031411-166.jpg] - пространство разбиения М. п. на компакты) [img: http://localhost:8080/file/031411-167.jpg] хорошо согласуется с топологией Yи является симметрикой. Последнее означает, что [img: http://localhost:8080/file/031411-168.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031411-169.jpg] если и только если [img: http://localhost:8080/file/031411-170.jpg]. Симметрика d, так определенная, почти никогда не удовлетворяет аксиоме треугольника, но если разбиение на компакты непрерывно, то dобладает топологич. свойствами, с успехом заменяющими аксиому треугольника и гарантирующими метризуемость образа "настоящей" метрикой. Топологич. пространство, являющееся образом М. п. при непрерывном, открытом и замкнутом отображении, само гомеоморфно нек-рому М. п. Однако при непрерывных открытых отображениях метризуемость сохраняется не всегда - все пространства с первой аксиомой счетности и только они представимы как образы М. п. при непрерывных открытых отображениях. Среди обобщений М. п. наиболее важны псевдометрич. пространства, пространства с симметрикой и пространства с 0-метрикой [7]. Они определяются аксиоматически посредством естественных ослаблений системы аксиом М. п. Но расстояние здесь по-прежнему выражается неотрицательной действительным числом. Можно рассматривать обобщенные метрики со значениями в упорядоченных полугруппах, полуполях и т. д. (см. [8]). На этом пути можно осуществить обобщенную метризацию произвольного вполне регулярного пространства. Фундаментальным обобщением концепции М. п. является понятие равномерного пространства. Далее идут чисто топологич. расширения класса М. п., среди к-рых важны классы пространств с равномерной базой, моровских пространств, перистых и паракомпактных перистых пространств, кружевных пространств. Класс паракомпактов является слишком широким обобщением класса М. п., чтобы считаться таковым: паракомпактность не сохраняется даже при возведении в квадрат. Напротив, класс паракомпактных перистых пространств является удачным одновременным обобщением класса пространств, гомеоморфных М. п., и класса бикомпактов. В ином направлении обобщают понятие метрики х-метрики и б-метрики [4]. Концепция стати-стич. М. п., введенная К. Менгером (К. Menger), в топологич. отношении оказалась равноценной понятию пространства с симметрикой.