Милна проблема

- проблема теории переноса излучения о решении односкоростного кинетич. уравнения переноса квантов или частиц для полупространства. Впервые интегральное уравнение М. п. с источником на бесконечности при нулевом потоке падающего извне излучения было выведено Э. Милном [1] для случая изотропного рассеяния квантов, распространяющихся без поглощения в звездной атмосфере. Уравнение Милна имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031411-229.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/031411-230.jpg] - плотность излучения (или частиц), [img: http://localhost:8080/file/031411-231.jpg] - интегро-показательная функция [img: http://localhost:8080/file/031411-232.jpg] В нейтронной физике М. п. используется для постановки приближенных граничных условий при решении уравнений диффузионного приближения в ограниченной области; при этом учитываются захват нейтронов в среде, анизотропия рассеяния и кривизна границы. Здесь М. п. состоит в решении интегро-дифференци-ального уравнения [img: http://localhost:8080/file/031411-233.jpg] с краевым условием на границе полупространства, заполненного веществом, с вакуумом [img: http://localhost:8080/file/031411-234.jpg] где сесть среднее число вторичных нейтронов, приходящееся на одно соударение с ядром (с<1 в рассеивающем и поглощающем нейтроны веществе), [img: http://localhost:8080/file/031411-235.jpg] - индикатриса рассеяния [img: http://localhost:8080/file/031411-236.jpg] при изотропном рассеянии). Аналогично ставится сферическая или цилиндрическая М. п. о распределении нейтронов в пространстве вне поглощающей сферы или цилиндра. Решение М. п. удобно проводить, применяя преобразование Лапласа к интегро-дифференциальному уравнению переноса (см. [3]) и используя для решения получающихся функциональных уравнений Винера- Хопфа метод. Для решения М. п. было предложено использовать разложение по обобщенным собственным функциям и методы решения сингулярных интегральных уравнений (см. [4]). Решение М. п. при [img: http://localhost:8080/file/031411-237.jpg] ищется в виде [img: http://localhost:8080/file/031411-238.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031411-239.jpg] - собственные функции непрерывного спектра, Р- символ главного значения по Коши, [img: http://localhost:8080/file/031411-240.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/031411-241.jpg] функция Дирака, [img: http://localhost:8080/file/031411-242.jpg] Дискретные собственные значения [img: http://localhost:8080/file/031411-243.jpg] суть корни характеристич. уравнения [img: http://localhost:8080/file/031411-244.jpg] - собственные функции дискретного спектра имеют вид [img: http://localhost:8080/file/031411-245.jpg] Система собственных функций [img: http://localhost:8080/file/031411-246.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031411-247.jpg] оказывается полной в пространстве обобщенных функций на отрезке [img: http://localhost:8080/file/031411-248.jpg] и ортогональной с весом W(m), к-рый находится как решение сингулярного интегрального уравнения (см. [4]). Граничное условие (2) М. п. дает [img: http://localhost:8080/file/031411-249.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/031411-250.jpg] то есть [img: http://localhost:8080/file/031411-251.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031411-252.jpg] определяются как коэффициенты разложения функции [img: http://localhost:8080/file/031411-253.jpg] Асимптотич. плотность нейтронов [img: http://localhost:8080/file/031411-254.jpg] обращается в нуль при [img: http://localhost:8080/file/031411-255.jpg] Для [img: http://localhost:8080/file/031411-256.jpg] постоянная Хопфа х 0=0,710446.