Милнора сфера

- гладкое многообразие, гомео-морфное (кусочно линейно изоморфное) сфере S", но не диффеоморфное ей. Впервые пример такого многообразия был построен Дж. Милнором в 1956 (см. [1]); этот же пример - первый пример гомеоморфных, но не диффеоморфных многообразий. Построение М. с. Любое гладкое замкнутое многообразие, гомотопически эквивалентное сфере S", при [img: http://localhost:8080/file/031411-257.jpg] гомеоморфно (и даже кусочно линейно изоморфно) сфере [img: http://localhost:8080/file/031411-258.jpg] (см. Пуанкаре гипотеза обобщенная, h-кобпрдизм). Сигнатура замкнутого гладкого почти параллелизуемого многообразия размерности [img: http://localhost:8080/file/031411-259.jpg] делится на число sk, экспоненциально растущее с ростом k. Для любого кимеется параллелизуемое многообразие [img: http://localhost:8080/file/031411-260.jpg] сигнатуры 8 (именно, древовидное многообразие Милнора), край к-рого [img: http://localhost:8080/file/031411-261.jpg] есть при [img: http://localhost:8080/file/031411-262.jpg] гомотопическая сфера (см. [2]). Если бы Мбыло диффеоморфно сфере [img: http://localhost:8080/file/031411-263.jpg], то многообразие [img: http://localhost:8080/file/031411-264.jpg], полученное из [img: http://localhost:8080/file/031411-265.jpg] добавлением конуса над краем, было бы гладким почти параллелизуемым замкнутым многообразием сигнатуры 8. Таким образом, Месть М. с. Имеется и др. пример М. с. (см. [5]). Классификация М. с. Имеется 28 различных (не диффеоморфных) 7-мерных М. с. (в эти 28 многообразий включена стандартная сфера S 7, и в дальнейшем термин "М. с." используется и для обозлачения стандартной сферы S n). Множество всех гладкостей на кусочно линейной сфере (точнее, сглаживаний, но для сфер это одно и то же) эквивалентно множеству элементов группы [img: http://localhost:8080/file/031411-266.jpg] Последняя группа при i<7 тривиальна, так что любая М. с. размерности, меньшей 7, диффеоморфна стандартной. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031411-267.jpg] - множество классов h-кобордантности n-мерных гладких многообразии, гомотопически эквивалентных сфере S n. Операция связной суммы превращает это множество в группу, где нуль - класс h- кобордантности сферы Sn. При n>5 элементы группы qn находятся во взаимно однозначном соответствии с классами диффеоморфности n-мерных М. с. Для вычисления групп qn n>5, задается (см. [3]) тривиализация стабильного нормального расслоения (оснащение) М. с. М п. Это возможно, так как М п стабильно параллелизуемо. Полученное оснащенное многообразие определяет элемент стабильной гомотопич. группы [img: http://localhost:8080/file/031411-268.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031411-269.jpg] Этот элемент зависит, вообще говоря, от выбора оснащения ([img: http://localhost:8080/file/031411-270.jpg] - "многозначное отображение"). Пусть [img: http://localhost:8080/file/031411-271.jpg] - подгруппа в [img: http://localhost:8080/file/031411-272.jpg], состоящая из М. с, ограничивающих параллелизуемые многообразия. Построенное многозначное отображение индуцирует гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031411-273.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031411-274.jpg] - стационарный Уайтхеда гомоморфизм и [img: http://localhost:8080/file/031411-275.jpg] -изоморфизм. Вычисление группы [img: http://localhost:8080/file/031411-276.jpg] сводится к задаче (нерешенной, 1982) вычисления группы [img: http://localhost:8080/file/031411-277.jpg] и вычисления группы [img: http://localhost:8080/file/031411-278.jpg] что делается посредством Морса перестроек пленки (при сохранении края). Пусть [img: http://localhost:8080/file/031411-279.jpg], то есть [img: http://localhost:8080/file/031411-280.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031411-281.jpg] параллелизуемо. Если W- стягиваемое многообразие, то после вырезания в Wмаленького диска многообразие М h -кобордантно [img: http://localhost:8080/file/031411-282.jpg], то есть [img: http://localhost:8080/file/031411-283.jpg]. Если пчетно, то можно так изменить Wпосредством перестроек Морса, что новое многообразие [img: http://localhost:8080/file/031411-284.jpg] будет стягиваемым (здесь требуется параллелизуемость многообразия Wи условие n>5). Итак, [img: http://localhost:8080/file/031411-285.jpg] Случай n+1 = 4k. Если сигнатура s(W). многообразия Wесть 0, то Wможно перестройками Морса превратить в стягиваемое многообразие, так что в этом случае Месть стандартная сфера. Если M=дW и M' = дW, то [img: http://localhost:8080/file/031411-286.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031411-287.jpg] (здесь [img: http://localhost:8080/file/031411-288.jpg] - связная сумма многообразий А и В). Если [img: http://localhost:8080/file/031411-289.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/031411-290.jpg], так что инвариант [img: http://localhost:8080/file/031411-291.jpg] однозначно определяет элемент [img: http://localhost:8080/file/031411-292.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031411-293.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031411-294.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031411-295.jpg] делится на [img: http://localhost:8080/file/031411-296.jpg]. Обратно, для любого [img: http://localhost:8080/file/031411-297.jpg] существует гладкое замкнутое многообразие [img: http://localhost:8080/file/031411-298.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/031411-299.jpg] поэтому если [img: http://localhost:8080/file/031411-300.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031411-301.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031411-302.jpg] гле [img: http://localhost:8080/file/031411-303.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031411-304.jpg] параллелизуемо и [img: http://localhost:8080/file/031411-305.jpg] Элемент [img: http://localhost:8080/file/031411-306.jpg] полностью определяется вычетом [img: http://localhost:8080/file/031411-307.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031411-308.jpg], и разные вычеты определяют разные многообразия. Так как [img: http://localhost:8080/file/031411-309.jpg] принимает любое значение, кратное 8, то [img: http://localhost:8080/file/031411-310.jpg] Случай n=4k+1. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031411-311.jpg]. Если Кервера инвариант многообразия Wесть нуль, то есть [img: http://localhost:8080/file/031411-312.jpg], то Wперестраивается до стягиваемого многообразия, то есть [M] = 0. Пусть теперь [img: http://localhost:8080/file/031411-313.jpg] Так как при [img: http://localhost:8080/file/031411-314.jpg] не существует гладкого замкнутого почти параллелизуемого (что в размерности [img: http://localhost:8080/file/031411-315.jpg] равносильно параллелизуемости) многообразия с инвариантом Кервера, не равным нулю, то Мне диффеоморфно [img: http://localhost:8080/file/031411-316.jpg] В этом случае [img: http://localhost:8080/file/031411-317.jpg] то есть [img: http://localhost:8080/file/031411-318.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/031411-319.jpg] и тех значениях i, где существует многообразие с ненулевым инвариантом Кервера, [img: http://localhost:8080/file/031411-320.jpg], то есть [img: http://localhost:8080/file/031411-321.jpg] но вопрос об описании всех таких не решен (1982), хотя при [img: http://localhost:8080/file/031411-322.jpg] ответ положителен. Итак, [img: http://localhost:8080/file/031411-323.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/031411-324.jpg] или 0. Имеется другое представление М. с. Пусть в пространстве [img: http://localhost:8080/file/031411-325.jpg] W- алгебраическое многообразие с уравнением [img: http://localhost:8080/file/031411-326.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031411-327.jpg] есть (2п+1)-мерная сфера радиуса e(малого) с центром в начале координат. При подходящих значениях [img: http://localhost:8080/file/031411-328.jpg] есть М. с. (см. [4]). Напр., при n=4 и a1=6k-1, а 2=3, a3=a4=a5=2 и k=1, 2,..., 28 получаются все 28 7-мерных М. с.