Минковского неравенство

- 1) Собственно М. н.: если действительные числа [img: http://localhost:8080/file/031412-167.jpg] при i=l,..., n и р>1, то [img: http://localhost:8080/file/031412-168.jpg] Выведено Г. Минковским [1]. При [img: http://localhost:8080/file/031412-169.jpg] неравенство заменяется на противоположное (для р<0 следует считать [img: http://localhost:8080/file/031412-170.jpg]). В каждом из этих случаев равенство имеет место тогда и только тогда, когда строки [img: http://localhost:8080/file/031412-171.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031412-172.jpg] пропорциональны. При р=2 М. н. наз. неравенством треугольника. М. н. допускает обобщения в различных направлениях (они также носят названия неравенств Минковского). Ниже приводятся нек-рые из них. 2) М. н. для сумм. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031412-173.jpg] для i=1,......, пи j = 1,..., ти р>1, тогда [img: http://localhost:8080/file/031412-174.jpg] Знак неравенства меняется на обратный при р<1, [img: http://localhost:8080/file/031412-175.jpg] и для [img: http://localhost:8080/file/031412-176.jpg] полагается [img: http://localhost:8080/file/031412-177.jpg]. В каждом из этих случаев равенство имеет место тогда и только тогда, когда строки [img: http://localhost:8080/file/031412-178.jpg] пропорциональны. Существуют также обобщения неравенств (1) на кратные и бесконечные суммы. Однако при использовании предельных процессов особого внимания требует формулировка случаев возможного равенства (см. [2]). Неравенства (1) и (2) однородны относительно [img: http://localhost:8080/file/031412-179.jpg], и потому они имеют аналоги для различных средних, напр., если [img: http://localhost:8080/file/031412-180.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031412-181.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031412-182.jpg] подробнее см. в [2]. 3) М. н. для интегралов аналогично неравенству (2) и имеет место опять же вследствие однородности относительно [img: http://localhost:8080/file/031412-183.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031412-184.jpg] - интегрируемые функции в нек-рой области [img: http://localhost:8080/file/031412-185.jpg] относительно элемента объема dV, тогда при р>1 [img: http://localhost:8080/file/031412-186.jpg] Естественно получается обобщение неравенства (3) для большего числа функций. Дальнейшее обобщение: если k>1, то [img: http://localhost:8080/file/031412-187.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031412-188.jpg] причем равенство имеет место лишь в случае [img: http://localhost:8080/file/031412-189.jpg] 4) Другие неравенства типа М. н.: а) для произведений: если [img: http://localhost:8080/file/031412-190.jpg],то [img: http://localhost:8080/file/031412-191.jpg] б) неравенство Малера: пусть F(x)- обобщенная норма в [img: http://localhost:8080/file/031412-192.jpg] - ее полярная функция. Тогда [img: http://localhost:8080/file/031412-193.jpg] где (Х, Х) - скалярное произведение; в) для определителей: если А, В- неотрицательные эрмитовы матрицы над [img: http://localhost:8080/file/031412-194.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/031412-195.jpg] 5) Наконец, с именем Г. Минковского связываются и др. неравенства, в особенности в выпуклом анализе и теории чисел, напр. Брунна- Минковского теорема.