Миттаг-леффлера теорема

- 1) М.-Л. т. о разложении мероморфной функции (см. [1], [2]) - одна из основных теорем теории аналитических функций, дающая для мероморфных функций аналог разложения рациональной функции на простейшие дроби. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031412-249.jpg] - последовательность различных комплексных чисел [img: http://localhost:8080/file/031412-250.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031412-251.jpg] - последовательность рациональных функций вида [img: http://localhost:8080/file/031412-252.jpg] так что точка а n является единственным полюсом соответствующей функции gn(z). Тогда существуют мероморфные функции f(z)в плоскости С комплексного переменного z, имеющие полюсы в точках а п и только в них с заданными главными частями (1) Лорана рядов, соответствующих точкам а п. Все эти функции f(z)представимы в виде разложения Миттаг-Леффлера: [img: http://localhost:8080/file/031412-253.jpg] где pn(z)- нек-рые многочлены, подбираемые по а п и gn(z)так, чтобы ряд (2) равномерно (после выбрасывания конечного числа членов) сходился на любом компакте [img: http://localhost:8080/file/031412-254.jpg] - произвольная целая функция. Из М.-Л. т. вытекает, что любая наперед заданная мероморфная функция f(z)в [img: http://localhost:8080/file/031412-255.jpg] с полюсами аД и соответствующими главными частями gn(z)разложений f(z)в ряды Лорана в окрестности а а разлагается в ряд (2), где целая функция h(z)определяется по f(z). Г. Миттаг-Леффлер указал общую конструкцию многочленов pn{z), отыскание же целой функции h(z)по данной f(z) иногда представляет собой более трудную задачу. Для получения разложения (2) можно применить методы теории вычетов (см. также [3] - [5]). Справедливо обобщение приведенной теоремы, также принадлежащее Г. Миттаг-Леффлеру и состоящее в том, что каковы бы ни были область Dрасширенной комплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/031412-256.jpg] последовательность [img: http://localhost:8080/file/031412-257.jpg] точек [img: http://localhost:8080/file/031412-258.jpg], все предельные точки к-рой находятся на границе [img: http://localhost:8080/file/031412-259.jpg], и соответствующие главные части (1), существует мероморфная в Dфункция f(z), имеющая полюсы в точках а п и только в них с заданными главными частями (1). В такой форме М.-Л. т. обобщается и для открытых римановых поверхностен D(см. [7]); о существовании мероморфных функций с заданными особенностями на компактных римановых поверхностях см. Абелев дифференциал, Дифференциал на римановой поверхности, Римана- Роха теорема. М.-Л. т. верна и для абстрактных мероморфных функций [img: http://localhost:8080/file/031412-260.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031412-261.jpg] со значениями в банаховом пространстве F(см. [8]). Другое обобщение М.-Л. т. состоит в том, что для любых последовательности [img: http://localhost:8080/file/031412-262.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031412-263.jpg] и соответствующих функций [img: http://localhost:8080/file/031412-264.jpg] являющихся целыми функциями относительно переменного [img: http://localhost:8080/file/031412-265.jpg] существует однозначная аналитическая функция f(z), имеющая особые точки а п и только их с главными частями gn(z)(см. [3]). Для аналитических функций многих комплексных переменных обобщением задачи Миттаг-Леффлера о построении функции с заданными особенностями является первая (аддитивная) Кузена проблема. В связи с этим часто оказывается полезной следующая равносильная формулировка М.-Л. т. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031412-266.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031412-267.jpg] - открытые множества в [img: http://localhost:8080/file/031412-268.jpg], и пусть даны мероморфные функции [img: http://localhost:8080/file/031412-269.jpg] соответственно на множествах [img: http://localhost:8080/file/031412-270.jpg], причем разности [img: http://localhost:8080/file/031412-271.jpg] суть регулярные функции на пересечениях [img: http://localhost:8080/file/031412-272.jpg] при всех j и k. Тогда на Qсуществует мероморфная функция f такая, что разности f-gj регулярны на [img: http://localhost:8080/file/031412-273.jpg] для всех j (см. [5], [6]). 2) М.-Л. т. о разложении однозначной ветви аналитической функции в звезде - см. Звезда элемента функции.