Многообразие

категорий - понятие, аналогичное понятию многообразия универсальных алгебр. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031414-414.jpg] - бикатегория с произведениями. Полная подкатегория [img: http://localhost:8080/file/031414-415.jpg] категории [img: http://localhost:8080/file/031414-416.jpg] наз. многообразием, если она удовлетворяет следующим условиям: а) если [img: http://localhost:8080/file/031414-417.jpg] - допустимый мономорфизм и [img: http://localhost:8080/file/031414-418.jpg] б) если [img: http://localhost:8080/file/031414-419.jpg] - допустимый [img: http://localhost:8080/file/031414-420.jpg] эпиморфизм и [img: http://localhost:8080/file/031414-421.jpg] в) если [img: http://localhost:8080/file/031414-422.jpg]. Если бикатегория [img: http://localhost:8080/file/031414-423.jpg] локально мала слева, т. е. допустимые подобъекты любого объекта образуют множество, то всякое М. является рефлективной подкатегорией категории [img: http://localhost:8080/file/031414-424.jpg]. Это значит, что функтор вложения [img: http://localhost:8080/file/031414-425.jpg] обладает сопряженным слева функтором [img: http://localhost:8080/file/031414-426.jpg]. Единица этого сопряжения - естественное преобразование [img: http://localhost:8080/file/031414-427.jpg] обладает тем свойством, что для каждого [img: http://localhost:8080/file/031414-428.jpg] морфизм [img: http://localhost:8080/file/031414-429.jpg] является допустимым эпиморфизмом. Во многих важных случаях функтор Токазывается точным справа, т. е. он переводит коядро [img: http://localhost:8080/file/031414-430.jpg] пары мор-физмов [img: http://localhost:8080/file/031414-431.jpg] в коядро пары морфизмов [img: http://localhost:8080/file/031414-432.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031414-433.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/031414-434.jpg] - ядерная пара морфизма v. Более того, точность справа и наличие естественного преобразования [img: http://localhost:8080/file/031414-435.jpg] являются характеристич. свойствами функтора Т. Всякое М. наследует многие свойства объемлющей категории. Оно снабжается структурой бикатегории и является биполной категорией, если исходная категория биполна. В категориях с нормальными кообразами, как и в случае многообразий групп, можно определить произведение М. Строение возникающего при этом группоида М. изучено только в ряде частных случаев.