Моделей теория

- раздел математической логики, изучающий математические модели. Начало М. т. относится к 30-м гг. 20 в., когда были доказаны следующие две основные теоремы. Теорема 1 (теорема Гёделя - Мальцева). Если каждая конечная подсовокупность совокупности Твысказываний языка 1-й ступени совместима, то совместна и вся совокупность Т(см. [1]). Теорема 2 (теорема Лёвенхейма - Сколема - Мальцева). Если совокупность высказываний языка 1-й ступени сигнатуры Wимеет бесконечную модель, то она имеет модель любой бесконечной мощности, не меньшей мощности сигнатуры W. Теорема 1, называемая теоремой компактности, получила широкое применение в алгебре. На основе этой теоремы А. И. Мальцев создал метод доказательства локальных теорем алгебры (см. Мальцева локальные теоремы). Пусть А- алгебраич. система сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031415-255.jpg] - основное множество системы [img: http://localhost:8080/file/031415-256.jpg] обозначает сигнатуру, получаемую из [img: http://localhost:8080/file/031415-257.jpg] добавлением символов выделенных элементов [img: http://localhost:8080/file/031415-258.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031415-259.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/031415-260.jpg] обозначает алгебраич. систему сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031415-261.jpg], к-рая является обогащением алгебраич. системы Aи в к-рой для каждого [img: http://localhost:8080/file/031415-262.jpg] символ [img: http://localhost:8080/file/031415-263.jpg] интерпретируется элементом а. Множество [img: http://localhost:8080/file/031415-264.jpg] всех замкнутых формул сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031415-265.jpg] языка 1-й ступени, истинных в системе [img: http://localhost:8080/file/031415-266.jpg], наз. описанием алгебраической системы А, а множество D(А)тех формул из О(А), к-рые являются либ. Подсистема Аалгебраич. системы Всигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031415-270.jpg] тогда и только тогда является элементарной подсистемой системы В, когда для каждой замкнутой формулы [img: http://localhost:8080/file/031415-271.jpg] языка 1-й ступени сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031415-272.jpg], истинной в [img: http://localhost:8080/file/031415-273.jpg], найдется такой [img: http://localhost:8080/file/031415-274.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/031415-275.jpg] истинна в [img: http://localhost:8080/file/031415-276.jpg]. Из этого критерия сразу следует, что объединение возрастающей цепочки элементарных подсистем является элементарным расширением каждой из этих систем. Если замкнутая [img: http://localhost:8080/file/031415-277.jpg] -формула языка 1-й ступени истинна в каждой системе возрастающей цепочки систем, то эта формула истинна и в объединении этой цепочки (см. [1]). Пусть сигнатура [img: http://localhost:8080/file/031415-278.jpg] содержит символ Uодноместного отношения. Говорят, что модель Атеории Тсигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031415-279.jpg] имеет тип [img: http://localhost:8080/file/031415-280.jpg], если мощность Аравна [img: http://localhost:8080/file/031415-281.jpg], а мощность [img: http://localhost:8080/file/031415-282.jpg] равна [img: http://localhost:8080/file/031415-283.jpg] Теорема Вота: если элементарная теория Тсчетной сигнатуры имеет модель типа [img: http://localhost:8080/file/031415-284.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031415-285.jpg], то Тимеет модель типа [img: http://localhost:8080/file/031415-286.jpg] (см. [7], [10]). В предположении, что справедлива обобщенная гипотеза континуума, элементарная теория счетной сигнатуры имеет модель типа [img: http://localhost:8080/file/031415-287.jpg] для каждого [img: http://localhost:8080/file/031415-288.jpg], если она имеет модель типа [img: http://localhost:8080/file/031415-289.jpg] (см. [10]). При этом же предположении теория Тh(А), где сигнатура Аесть [img: http://localhost:8080/file/031415-290.jpg] - множество всех действительных чисел, [img: http://localhost:8080/file/031415-291.jpg] - множество целых чисел, а [img: http://localhost:8080/file/031415-292.jpg] определены обычным образом, не имеет модели типа [img: http://localhost:8080/file/031415-293.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031415-294.jpg] обозначает обогащение алгебраич. системы Апри помощи предиката [img: http://localhost:8080/file/031415-295.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/031415-296.jpg] - сигнатуру, полученную из [img: http://localhost:8080/file/031415-297.jpg] присоединением предикатного символа Р. Во многих случаях важно понять, когда в каждой системе из класса Калгебраич. систем сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031415-298.jpg] предикат Рзадается формулой языка 1-й ступени сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031415-299.jpg]. Частичный ответ на этот вопрос дает теорема Бета: тогда и только тогда существует формула [img: http://localhost:8080/file/031415-300.jpg] языка 1-й ступени сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031415-301.jpg] такая, что формула [img: http://localhost:8080/file/031415-302.jpg] истинна на всех системах аксиоматизируемого класса Ксигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031415-303.jpg], когда множество [img: http://localhost:8080/file/031415-304.jpg] содержит не более одного элемента для каждой алгебраич. системы Асигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031415-305.jpg] (см. [2]). Многие исследования по М. т. связаны с изучением свойств, сохраняющихся при операциях над алгебраич. системами. К числу важнейших операций относятся гомоморфизмы, прямые и фильтрованные произведения. Говорят, что высказывание Ф устойчиво относительно гомоморфизмов, если из истинности Ф в алгебраич. системе Аследует истинность Ф во всех эпиморфных образах А. Формула Ф языка 1-й ступени наз. положительно й, если Ф не содержит знаков отрицания и импликации. Доказано (см. [1]), что высказывание Ф языка 1-й ступени устойчиво относительно гомоморфизмов тогда и только тогда, когда Ф эквивалентно положительному высказыванию. Аналогичная теорема верна и для языка [img: http://localhost:8080/file/031415-306.jpg] Формула [img: http://localhost:8080/file/031415-307.jpg] языка 1-й ступени сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031415-308.jpg] наз. хорновской, если она может быть получена конъюнкциями и навешиванием кванторов из формул вида [img: http://localhost:8080/file/031415-309.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031415-310.jpg] - атомные формулы языка 1-й ступени сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031415-311.jpg]. Примерами хорновских формул являются тождества и квазнтождества. Центральной в теории ультрапронзведений является теорема Лося [img: http://localhost:8080/file/031415-312.jpg]: всякая формула языка 1-й ступени фильтруется по любому ультрафильтру (см. [1]). Формула языка 1-й ступени условно фильтруется по любому фильтру тогда и только тогда, когда эта формула эквивалентна хорновской формуле. Имеет место теорема (см. [9]): алгебраич. системы Аи Всигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031415-313.jpg] тогда и только тогда элементарно эквивалентны, когда существует такой ультрафильтр Dна множестве [img: http://localhost:8080/file/031415-314.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/031415-315.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031415-316.jpg] изоморфны. Мощность фильтрованного произведения бесконечна, если для каждого натурального пчисло сомножителей мощности пконечно. Если для каждого натурального пмножество тех индексов, для к-рых соответствующий сомножитель имеет мощность п, не принадлежит D, то мощность ультрапроизведения по неглавному ультрафильтру Uна счетном множестве I равна континууму. Для каждого бесконечного I мощности [img: http://localhost:8080/file/031415-317.jpg] существует такой фильтр Dна I, что для каждого фильтра [img: http://localhost:8080/file/031415-318.jpg] на I, содержащего D, и каждого бесконечного множества Амощность [img: http://localhost:8080/file/031415-319.jpg] не меньше [img: http://localhost:8080/file/031415-320.jpg] (см. [1]). Много применений находит теорема о существовании моделей с большим числом автоморфизмов (см. [3]): для любого линейно упорядоченного множества Xв аксиоматизируемом классе Калгебраич. систем, содержащем бесконечную систему, существует такая система А, что [img: http://localhost:8080/file/031415-321.jpg] и каждое сохраняющее порядок одно-однозначное отображение Xна Xпродолжается до автоморфизма А. Важными понятиями М. т. являются понятия универсальной, однородной и насыщенной систем. Пусть Аи В - алгебраич. системы сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031415-322.jpg]. Отображение f множества [img: http://localhost:8080/file/031415-323.jpg] во множество [img: http://localhost:8080/file/031415-324.jpg] наз. элементарным, если для каждой формулы [img: http://localhost:8080/file/031415-325.jpg] языка 1-й ступени сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031415-326.jpg] и любых [img: http://localhost:8080/file/031415-327.jpg] имеет место эквивалентность [img: http://localhost:8080/file/031415-328.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031415-329.jpg]. Система Аназ. [img: http://localhost:8080/file/031415-330.jpg] -универсальной, если для каждой системы В, элементарно эквивалентной системе Аи имеющей мощность, не превосходящую [img: http://localhost:8080/file/031415-331.jpg], существует элементарное отображение [img: http://localhost:8080/file/031415-332.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031415-333.jpg]. Система Аназ. [img: http://localhost:8080/file/031415-334.jpg] -однородной, если для любого множества [img: http://localhost:8080/file/031415-335.jpg], мощность к-рого меньше [img: http://localhost:8080/file/031415-336.jpg], каждое элементарное отображение [img: http://localhost:8080/file/031415-337.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031415-338.jpg] продолжается до элементарного отображения [img: http://localhost:8080/file/031415-339.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031415-340.jpg] (т. е. до автоморфизма А). Система Асигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031415-341.jpg] наз. [img: http://localhost:8080/file/031415-342.jpg] -насыщенной, если для каждого множества [img: http://localhost:8080/file/031415-343.jpg], мощность к-рого меньше [img: http://localhost:8080/file/031415-344.jpg], и каждой совокупности [img: http://localhost:8080/file/031415-345.jpg] формул языка 1-й ступени сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031415-346.jpg], не содержащих свободных переменных, отличных от [img: http://localhost:8080/file/031415-347.jpg], из конечной выполнимости [img: http://localhost:8080/file/031415-348.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031415-349.jpg] следует выполнимость [img: http://localhost:8080/file/031415-350.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031415-351.jpg]. Система Аназ. универсальной (соответственно однородной или насыщенной), если и Аявляется [img: http://localhost:8080/file/031415-352.jpg] универсальной (соответственно [img: http://localhost:8080/file/031415-353.jpg] -однородной или [img: http://localhost:8080/file/031415-354.jpg] насыщенной), где [img: http://localhost:8080/file/031415-355.jpg] есть мощность [img: http://localhost:8080/file/031415-356.jpg]. Система тогда и только тогда насыщена, когда она одновременно универсальна и однородна. Две элементарно эквивалентные насыщенные системы одной мощности изоморфны (см. [3]). Все несчетные модели категоричной в несчетных мощностях элементарной теории счетной сигнатуры насыщены (теорема Морли, см. [3], [8]). Большое число примеров [img: http://localhost:8080/file/031415-357.jpg] -насыщенных систем доставляют ультрапроизведения. Напр., если D- неглавный ультрафильтр на счетном множестве [img: http://localhost:8080/file/031415-358.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/031415-359.jpg] является [img: http://localhost:8080/file/031415-360.jpg] -насыщенной системой для любых алгебраич. систем [img: http://localhost:8080/file/031415-361.jpg] счетной сигнатуры [img: http://localhost:8080/file/031415-362.jpg]. Основными задачами М. т. являются изучение выразительной возможности формализованного языка и изучение классов структур, определимых средствами этого языка. Найдены нек-рые важные свойства стабильных теорий, еще более детально изучены классы категоричных и суперстабильных теорий. Основным аппаратом при изучении стабильных теорий является классификация формул и локально совместных множеств формул в этих теориях. Такая классификация осуществляется путем приписывания формулам рангов. Эти ранги обычно принимают в качестве значений ординалы, а рангующие функции задаются с помощью специальных топологий или другим способом. Изучение рангующих функций и их усовершенствование - богатый источник информации о теориях. В изучении классов моделей выясняют число различных с точностью до изоморфизма моделей теории в рассматриваемой мощности и наличие специальных моделей, напр, простых, минимальных, насыщенных, однородных, универсальных, конструктивизируемых и т. п., и создают способы их построения. Классич. примерами применения методов М. т. в математич. анализе являются работы А. Робинсона (A. Robinson) и его школы, сформировавшиеся в самостоятельную науку - нестандартный анализ;благодаря работам А. И. Мальцева и его школы развивается применение методов М. т. в топологич. алгебре; новейшие результаты о свойствах стабильных теорий находят использование при изучении конкретных алгебраич. вопросов. Перечисленные выше проблемы встают и при изучении различных неэлементарных языков, напр., получаемых добавлением новых кванторов, введением в рассмотрение бесконечных выражений, модальностей и т. п.