Модулей категория

- категория mod-R, объекты к-рой - правые унитарные модули над произвольным ассоциативным кольцом Rс единицей, а, морфизмы - гомоморфизмы R-модулей. Эта категория является важнейшим примером абелевой категории. Более того, для всякой малой абелевой категории существует полное точное вложение в нек-рую М. к. Если [img: http://localhost:8080/file/031416-52.jpg] - кольцо целых чисел, то mod-Rесть категория абелевых групп, а если, R = D-тело (поле), то mod-R есть категория векторных пространств над D. Свойства М. к. mod-R отражают ряд важных свойств кольца R(см. Гомологическая классификация колец), с этой категорией связан ряд важных гомологич. инвариантов кольца, в частности его гомологические размерности. Центр М. к. mod-R (т. е. множество естественных преобразований тождественного функтора категории) изоморфен центру кольца R. В теории колец, гомологич. алгебре и алгебраич. K-теории изучаются различные подкатегории М. к., В частности подкатегория конечно порожденных проективных R-модулей и ассоциированные с ней K- функторы (см. Алгебраическая К-теория). По аналогии с двойственностью Понтрягина изучаются двойственности между полными подкатегориями М. к., в частности между подкатегориями конечно порожденных модулей. Напр., установлено, что если Rи S- нёте-ровы кольца и имеет место двойственность между конечно порожденными правыми R-модулями и конечно порожденными левыми S-модулями, то существует би-модуль [img: http://localhost:8080/file/031416-53.jpg] такой, что данная двойственность эквивалентна двойственности, определяемой функторами [img: http://localhost:8080/file/031416-54.jpg] кольцо эндоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/031416-55.jpg] изоморфно S, а [img: http://localhost:8080/file/031416-56.jpg] изоморфно R, бимодуль U - конечно порожденный инъективный кообразующий (и как R-модуль, и как S-модуль), кольцо Rполусовершенно. Наиболее важным классом колец, возникающим при рассмотрении двойственности модулей, является класс квазифробениусовых колец. Артиново слева кольцо Rбудет квази-фробениусовым тогда и только тогда, когда отображение [img: http://localhost:8080/file/031416-57.jpg] определяет двойственность категорий левых и правых конечно порожденных R-модулей.