Модулей теория

- теория, изучающая непрерывные семейства объектов алгебраич. геометрии. Пусть А- класс объектов алгебраич. геометрии (многообразий, схем, векторных расслоений и т. п.), на к-ром задано нек-рое отношение эквивалентности R. Основная задача классификации (описания множества классов A/R)состоит из следующих двух частей: 1) описание дискретных инвариантов, к-рые обычно позволяют разбить A/R в счетное число подмножеств, объекты к-рых уже непрерывно зависят от параметров; 2) задание и изучение алгебро-геометрич. структур на множествах параметров. Вторая часть составляет содержание М. т. М. т. возникла при изучении эллиптич. функций: существует непрерывное семейство различных полей эллиптич. функций (или их моделей - неизоморфных эллиптич. кривых над [img: http://localhost:8080/file/031416-67.jpg]), параметризованное комплексными числами. Б. Риман (В. Riemann), к-рому принадлежит и сам термин "модули", показал, что поля алгебраич. функций над [img: http://localhost:8080/file/031416-68.jpg] (или их моделей - компактных римановых поверхностей) рода [img: http://localhost:8080/file/031416-69.jpg] зависят от 3g-3 непрерывных комплексных параметров - модулей. Основные понятия М. т. Пусть S- нек-рая схема (комплексное или алгебраич. пространство). Семейство объектов, параметризованных схемой S(или, как часто говорят, "над 5", или "с базой S"),- это набор объектов [img: http://localhost:8080/file/031416-70.jpg] снабженный дополнительной структурой, согласованной со структурой базы S. Эта структура в каждом конкретном случае задается явно. Функтор семейств - это контравариантный функтор [img: http://localhost:8080/file/031416-71.jpg] из категории схем (или пространств) в категорию множеств, определяемый следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/031416-72.jpg] - множество классов изоморфных семейств над S. Каждому морфизму [img: http://localhost:8080/file/031416-73.jpg] сопоставляется отображение [img: http://localhost:8080/file/031416-74.jpg] посредством взятия индуцированного семейства. Пусть М- объект в категории схем (комплексных или алгебраич. пространств) и [img: http://localhost:8080/file/031416-75.jpg] - функтор точек в этой категории, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031416-76.jpg]. Если функтор семейств [img: http://localhost:8080/file/031416-77.jpg] представим, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031416-78.jpg] для нек-рого М, то существует универсальное семейство с базой [img: http://localhost:8080/file/031416-79.jpg], и Мназ. тонкой схемой (соответственно тонким комплексным или алгебраическим пространством) модулей. Функтор [img: http://localhost:8080/file/031416-80.jpg] представим в очень немногих случаях, в связи с чем было введено также понятие грубой схемы модулей; Мназ. грубой схемой модулей, если существует морфизм функторов [img: http://localhost:8080/file/031416-81.jpg], обладающий свойствами: а) если S=SpecK=pt- одна точка (где К- алгебраически замкнутое поле), то отображение [img: http://localhost:8080/file/031416-82.jpg] биективно, иначе говоря, множество геометрич. точек схемы Мнаходится в естественном взаимно однозначном соответствии с множеством классов эквивалентности параметризуемых объектов; б) для каждой схемы N и морфизма функторов [img: http://localhost:8080/file/031416-83.jpg] существует единственный морфизм [img: http://localhost:8080/file/031416-84.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/031416-85.jpg]. Аналогично определяются грубая схема комплексного и алгебраического пространств модулей. Грубая схема модулей хотя и параметризует однозначно классы изучаемых объектов с заданными дискретными инвариантами, но естественное семейство над ней не обладает (в отличие от семейства над тонкой схемой модулей) сильным свойством универсальности. Грубая схема (пространство) модулей существует уже в достаточно большом числе случаев. Примеры. 1)Модули алгебраических кривых. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031416-86.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/031416-87.jpg]) - множество классов изоморфных проективных неособых кривых (соответственно стабильных кривых) рода [img: http://localhost:8080/file/031416-88.jpg] над алгебраически замкнутым полем К. Семейство над S- это гладкий (плоский) собственный морфизм схем [img: http://localhost:8080/file/031416-89.jpg], слоями к-рого являются гладкие (стабильные) кривые рода g. Тогда существует грубая (но не тонкая) схема модулей [img: http://localhost:8080/file/031416-90.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/031416-91.jpg]), являющаяся квазипроективным (проективным) неприводимым и нормальным многообразием над К. (см. [3], [5], [6]). 2) Модули алгебраических кривых с якобиевой жесткостью. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031416-92.jpg] - гладкое семейство проективных кривых (соответственно плоское семейство стабильных кривых) рода [img: http://localhost:8080/file/031416-93.jpg], п- целое число, обратимое на [img: http://localhost:8080/file/031416-94.jpg], и [img: http://localhost:8080/file/031416-95.jpg] - первый прямой образ постоянного пучка [img: http://localhost:8080/file/031416-96.jpg] в этальной топологии. Тогда [img: http://localhost:8080/file/031416-97.jpg] локально свободен, имеет ранг [img: http://localhost:8080/file/031416-98.jpg] и снабжен локально невырожденной симплектич. формой со значением в [img: http://localhost:8080/file/031416-99.jpg], с точностью до обратимого элемента из [img: http://localhost:8080/file/031416-100.jpg]. Якобиева структура уровня и на X- это задание симплектич. изоморфизма [img: http://localhost:8080/file/031416-101.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031416-102.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/031416-103.jpg]) - функтор семейств гладких (стабильных) кривых рода [img: http://localhost:8080/file/031416-104.jpg] с якобиевой жесткостью уровня п. Тогда при [img: http://localhost:8080/file/031416-105.jpg] функтор [img: http://localhost:8080/file/031416-106.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/031416-107.jpg]) представим квазипроективной (проективной) схемой [img: http://localhost:8080/file/031416-108.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/031416-109.jpg]) над [img: http://localhost:8080/file/031416-110.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031416-111.jpg] - первообразный корень n-й степени из 1, т. е. существует тонкая схема модулей [img: http://localhost:8080/file/031416-112.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/031416-113.jpg]) для гладких (стабильных) кривых рода [img: http://localhost:8080/file/031416-114.jpg] над полем характеристики взаимно простой с я, снабженных якобиевой жесткостью уровня п. Для достаточно больших и схема [img: http://localhost:8080/file/031416-115.jpg] является гладкой [5]. 3) Поляризованные алгебраические многообразия. Поляризованным семейством наз. пара [img: http://localhost:8080/file/031416-116.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031416-117.jpg] - гладкое семейство многообразий, т. е. гладкий собственный морфизм [img: http://localhost:8080/file/031416-118.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/031416-119.jpg] - класс относительно обильного обратимого пучка. [img: http://localhost:8080/file/031416-120.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031416-121.jpg] по модулю [img: http://localhost:8080/file/031416-122.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031416-123.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031416-124.jpg] - относительная схема Пикара, а [img: http://localhost:8080/file/031416-125.jpg] - ее связная компонента нулевого сечения. В этом случае строится функтор поляризованных семейств [img: http://localhost:8080/file/031416-126.jpg] с заданным многочленом Гильберта h. Без дополнительных ограничений этот функтор не представим. Существование грубого пространства модулей известно (1982) лишь в отдельных случаях. Для поляризованных алгебраич. многообразий также существует понятие жесткости уровня п. 4) Векторные расслоения. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031416-127.jpg] - множество классов векторных расслоений ранга пна алгебраич. многообразии X. Семейство над S- это векторное расслоение Ена [img: http://localhost:8080/file/031416-128.jpg]. Грубое пространство модулей [img: http://localhost:8080/file/031416-129.jpg] существует здесь как нормальнее проективное многообразие для полустабильных векторных расслоений ранга пи степени dна неособой проективной алгебраич. кривой Xнад алгебраически замкнутым полем К. Стабильные векторные расслоения в [img: http://localhost:8080/file/031416-130.jpg] параметризуются открытым гладким подмногообразием [img: http://localhost:8080/file/031416-131.jpg]. Если dи n взаимно просты, то [img: http://localhost:8080/file/031416-132.jpg]. Аналогичные результаты получены и для стабильных векторных расслоений на алгебраич. поверхности. Более того, в этом случае существует тонкая схема модулей (см. [7], [10] - [14]). Локальная и глобальная теории. Локальная теория возникла как теория деформаций комплексных структур (см. Деформация1) и 2)). Основными методами глобальной теории являются теория представимых функторов и геометрич. теория инвариантов, теория алгебраич. стеков и алгебраизация формальных модулей. Метод построения глобального пространства модулей восходит к классической инвариантов теории. Он заключается в следующем. Строится достаточно большое семейство [img: http://localhost:8080/file/031416-133.jpg], содержащее представителей всех классов эквивалентности изучаемых объектов, причем такое, что отношение эквивалентности на Нсводится к действию алгебраич. группы G. Затем развивается теория действия алгебраич. групп на алгебраич. многообразиях (схемах, пространствах) с целью выяснения условий существования фактора H/G в соответствующей категории. Основным инструментом построения семейства [img: http://localhost:8080/file/031416-134.jpg] является теория Гильберта схем. При таком подходе трудности построения семейства [img: http://localhost:8080/file/031416-135.jpg] сводятся к проблеме одновременного погружения изучаемых объектов в проективное пространство. Важным результатом о возможности такого одновременного погружения является теорема Мацусаки. Трудной проблемой остается и проблема существования фактора H/G. Имеются понятия категорного и геометрич. факторов. Конструкция грубого пространства модулей сводится к задаче о существовании геометрич. фактора, при этом используется понятие стабильности точек, соответствующее понятию орбиты общего положения. Результаты одействиях редуктивных групп на алгебраич. многообразиях над полями характеристики 0 распространяются и на случай полей характеристики р>0. Другой подход к глобальной М. т.- метод алгебраич. стеков, т. е. метод глобализации локальной теории деформаций. Первый шаг в исследовании представимости глобального функтора семейств при таком подходе - установление алгебраизуемости формальной версальной деформации для каждого объекта Х о. Трудностью для построения глобального пространства модулей является то, что не всегда факторизация базы семейства по отношению эквивалентности будет отделимым пространством. В таких случаях заменой объекта, представляющего функтор [img: http://localhost:8080/file/031416-136.jpg], служит алгебраич. стек, изучение свойств к-рого позволяет получить нек-рую информацию о пространстве модулей. Один из подходов к глобальной М. т. над [img: http://localhost:8080/file/031416-137.jpg] - это теория отображения периодов. Основным объектом здесь является классифицирующее пространство Dполяризованных Ходжа структур веса кдля заданных чисел Ходжа. Для семейства [img: http://localhost:8080/file/031416-138.jpg] поляризованных алгебраич. многообразий над [img: http://localhost:8080/file/031416-139.jpg] периоды определяют отображение Sв соответствующее классифицирующее пространство Dструктур Ходжа. Проблема модулей сводится к изучению условий биективности отображений периодов. Наличие локальной (глобальной) инъ-ективности для отображения периодов - это т. н. локальная (глобальная) проблема Торелли. На этом пути существование грубых пространств модулей доказано для кривых, абелевых многообразий и КЗ-поверхностей. Задача компактификации многообразия модулей Мзаключается в нахождении естественного и полного (проективного или компактного в теории над полем [img: http://localhost:8080/file/031416-140.jpg]) многообразия [img: http://localhost:8080/file/031416-141.jpg], содержащего Мв качестве плотного открытого подмножества, а также в описании и геометрич. интерпретации границы [img: http://localhost:8080/file/031416-142.jpg]. В примере 1) естественной компактификацией грубого многообразия модулей [img: http://localhost:8080/file/031416-143.jpg] кривых рода [img: http://localhost:8080/file/031416-144.jpg] служит проективное многообразие модулей [img: http://localhost:8080/file/031416-145.jpg] стабильных кривых. В примере 4) многообразие стабильных векторных расслоений ранга пи степени dна алгсбраич. кривой само является проективным и гладким, если (d, я)=1. Для поляризованных абелевых многообразий над [img: http://localhost:8080/file/031416-146.jpg] известны несколько способов компактификации многообразий модулей.