Монжа - ампера уравнение

- дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка вида [img: http://localhost:8080/file/031417-273.jpg] коэффициенты к-рого зависят от переменных x, у, неизвестной функции z(х, у)и ее первых производных [img: http://localhost:8080/file/031417-274.jpg] Тип М.- А. у. зависит от знака выражения [img: http://localhost:8080/file/031417-275.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031417-276.jpg], М.-А. у. есть уравнение эллиптич. типа, если [img: http://localhost:8080/file/031417-277.jpg]. - гиперболического, если [img: http://localhost:8080/file/031417-278.jpg] - параболического. М.-А. у. инвариантно относительно преобразования прикосновения. В частности, преобразование [img: http://localhost:8080/file/031417-279.jpg] переводит уравнение [img: http://localhost:8080/file/031417-280.jpg] в уравнение [img: http://localhost:8080/file/031417-281.jpg] Развитие теории М.- А. у. связано главным образом с решением различных задач геометрии, к-рые в аналитич. остановке сводятся к рассмотрению таких уравнений. Напр., построение поверхности с данным линейным элементом сводится к решению уравнения Дарбу, к-рое является М.-А. у. В случае полугеодезич. параметризации (линейный элемент [img: http://localhost:8080/file/031417-282.jpg]) это уравнение имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031417-283.jpg] Тип уравнения Дарбу зависит от знака гауссовой кривизны [img: http://localhost:8080/file/031417-284.jpg] В случае гиперболич. типа уравнения Дарбу (гауссова кривизна отрицательна) характеристиками являются асимптотич. линии. Применение теоремы Коши - Ковалевской к уравнению Дарбу дает теорему существования поверхности с данным линейным элементом, коэффициенты к-рого являются аналитич. циями. Особенно высокого уровня развития теория М.- А. у. эллиптич. типа получила благодаря введению понятия обобщенного решения и применению геометрия, методов его изучения. В простейшем случае уравнения [img: http://localhost:8080/file/031417-285.jpg] обобщенное решение определяется как выпуклая функция [img: http://localhost:8080/file/031417-286.jpg] удовлетворяющая равенству [img: http://localhost:8080/file/031417-287.jpg] где М- произвольное борелевское множество плоскости ху в области, где рассматривается решение, а [img: http://localhost:8080/file/031417-288.jpg] - т. н. нормальное изображение множества М, к-рое состоит из тех точек плоскости pq, для к-рых ри qявляются угловыми коэффициентами опорных плоскостей поверхности z=z(z, у)в точках (х, у,z), проектирующихся в М. Регулярное (дважды дифференцируемое) решение является обобщенным. Обобщенное решение в случае непрерывной положительной функции j является гладким, однако вторые производные могут не существовать. Построение обобщенного решения в своей существенной части сводится к чисто геометрич. задаче о построении бесконечного выпуклого многогранника с заданными направлениями конечных граней и заданной функцией на этих гранях. В частности, если правая часть [img: http://localhost:8080/file/031417-289.jpg] уравнения зависит только от хи у, этой функцией является площадь грани. Предельным переходом от таких многогранников получается график обобщенного решения уравнения. Для обобщенных решений получаются достаточно общие теоремы существования и единственности решения задачи Дирихле. В частности, имеет место следующая теорема. Задача Дирихле для уравнения [img: http://localhost:8080/file/031417-290.jpg] в выпуклой области Gразрешима при любых непрерывных граничных значениях, если кривизна кривой, ограничивающей область G, положительна, функция [img: http://localhost:8080/file/031417-291.jpg] непрерывна, положительна, неубывающая по z и при [img: http://localhost:8080/file/031417-292.jpg] имеет порядок роста не более [img: http://localhost:8080/file/031417-293.jpg] При заданном направлении выпуклости это решение является единственным. Существенным результатом теории М.-А. у. эллиптич. типа является теорема о регулярности обобщенных решений. Для простейшего уравнения [img: http://localhost:8080/file/031417-294.jpg] эта теорема гласит: при [img: http://localhost:8080/file/031417-295.jpg] всякое обобщенное решение с регулярной правой частью [img: http://localhost:8080/file/031417-296.jpg] является регулярным. Именно, если [img: http://localhost:8080/file/031417-297.jpg] есть краз дифференцируемая функция [img: http://localhost:8080/file/031417-298.jpg], то обобщенное решение по крайней мере k+1 раз дифференцируемо. Если [img: http://localhost:8080/file/031417-299.jpg] - аналитич. ция, то обобщенное решение - аналитическое. Среди общих М.-А. у. эллиптич. типа наиболее изучены сильно эллиптические уравнения. Это - уравнения, у к-рых [img: http://localhost:8080/file/031417-300.jpg] и квадратичная форма [img: http://localhost:8080/file/031417-301.jpg] неотрицательна. Основные результаты, приведенные для простейшего М.-А. у., распространены на случай сильно эллиптич. уравнений. Для них введено понятие обобщенного решения, при весьма общих условиях доказано существование и единственность решения задачи Дирихле, а также доказана регулярность обобщенного решения в зависимости от регулярности коэффициентов уравнения. Уравнение Дарбу для линейного элемента с положительной кривизной, вообще говоря, не является сильно эллиптическим. Его обобщенное решение определяется как z-координата поверхности, реализующей данный линейный элемент. Уравнение Дарбу имеет обобщенное решение в любой области, выпуклой в смысле заданной метрики (геодезич. кривизна края положительна). В любой такой области при достаточно общих условиях доказывается разрешимость задачи Дирихле. Обобщенное решение является регулярным, если коэффициенты линейного элемента являются регулярными. Обобщенное решение - аналитическое, если коэффициенты - аналитические. Важные результаты получены для М.-А. у. эллиптич. типа на многообразиях, гомеоморфных сфере. К таким уравнениям приводят, в частности, две классич. проблемы: Вейля проблема и Минковского проблема. Решения этих проблем, полученные предельным переходом от многогранников, являются обобщенными. Регулярность этих решений получается из теорем о регулярности обобщенных решений. М.-А. у. рассматривались Г. Монжем (G. Monge, 1784) и А. Ампером (A. Ampere, 1820).