Моногенная полугруппа

циклическая полугрупп а,- полугруппа, порожденная одним элементом. М. п., порожденная элементом о, обозначается обычно [img: http://localhost:8080/file/031417-302.jpg] (иногда [img: http://localhost:8080/file/031417-303.jpg]) и состоит из всевозможных степеней [img: http://localhost:8080/file/031417-304.jpg] с натуральными показателями. Если все эти степени различны, то [img: http://localhost:8080/file/031417-305.jpg] изоморфна аддитивной полугруппе натуральных чисел. В противном случае [img: http://localhost:8080/file/031417-306.jpg] конечна, и тогда число ее элементов наз. порядком полугруппы [img: http://localhost:8080/file/031417-307.jpg], а также порядком элемента а. Если [img: http://localhost:8080/file/031417-308.jpg] бесконечна, то говорят, что элемент аимеет бесконечный порядок. Для конечной М. п. [img: http://localhost:8080/file/031417-309.jpg] существует наименьшее число hс тем свойством, что [img: http://localhost:8080/file/031417-310.jpg] при нек-ром [img: http://localhost:8080/file/031417-311.jpg]; число hназ. индексом элемента а(а также полугруппы А). Если при этом d- наименьшее число с тем свойством, что [img: http://localhost:8080/file/031417-312.jpg], то dназ. периодом элемента а(полугруппы А). Пара (h, d)наз. типом элемента а(полугруппы А). Для любых натуральных чисел hи d существует М. п. типа (h, d);две конечные М. п. изоморфны тогда и только тогда, когда их типы совпадают. Если {h, d)- тип М. п. [img: http://localhost:8080/file/031417-313.jpg], то элементы [img: http://localhost:8080/file/031417-314.jpg] различны, и, следовательно, порядок Аравен h+d-1; множество [img: http://localhost:8080/file/031417-315.jpg] является в Анаибольшей подгруппой и наименьшим идеалом; единица егруппы Gбудет единственным идем-потентом в А, причем [img: http://localhost:8080/file/031417-316.jpg] при любом l таком, что [img: http://localhost:8080/file/031417-317.jpg]; группа G- циклическая группа, ее порождающим элементом будет, напр., ае. Идемпотент конечной М. п. является в ней единицей (нулем) тогда и только тогда, когда ее индекс (соответственно период) равен 1; это эквивалентно тому, что данная М. п. есть группа (соответственно нильпотентная полугруппа). Всякая подполугруппа бесконечной М. п. является конечно порожденной полугруппой.