Моногенная функция

- функция комплексного переменного, имеющая конечную производную. Точнее, функция [img: http://localhost:8080/file/031417-318.jpg], определенная на множестве Екомплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/031417-319.jpg], наз. моногенной (относительно множества Е)в конечной неизолированной точке [img: http://localhost:8080/file/031417-320.jpg], если она имеет в этой точке конечную производную [img: http://localhost:8080/file/031417-321.jpg] по переменному [img: http://localhost:8080/file/031417-322.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/031417-323.jpg] Функция, моногенная в каждой неизолированной точке множества Е, наз. моногенной на Е. Если E=G- область плоскости [img: http://localhost:8080/file/031417-324.jpg], то функция, моногенная на G, наз. аналитической функцией в области G. Если Ене является областью, то моногенные на Ефункции, вообще говоря, уже не обладают характерными свойствами аналитич. ций. Однако если множество Е, не содержащее в своем составе областей, является достаточно "массивным" вблизи большинства своих точек (точнее, если дополнение к Ев плоскости [img: http://localhost:8080/file/031417-325.jpg] является достаточно разреженным вблизи большинства точек [img: http://localhost:8080/file/031417-326.jpg]), то функции, моногенные на Е, обладают в ослабленном виде многими свойствами аналитич. ций. В попытках разобраться в глубинных связях между основными свойствами аналитич. ций понятие аналитич. ции обобщалось различными путями: посредством обобщения ее области определения, обобщения самого понятия производной, ослабления условий Кошп - Римана, ослабления условий теоремы Мореры и т. п. (см. [13] § 6). С этой же целью для "тощих" множеств Е, напр, для отрезка [img: http://localhost:8080/file/031417-327.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031417-328.jpg] выделялись т. н. квазианалитические классы функций. Изучались также функции, определенные на нигде не плотных достаточно массивных компактах Е, близкие аналитич. циям в том смысле, что они могут быть с любой точностью равномерно на Еприближены аналитич. циями или, что то же самое, рациональными функциями переменной z. Ниже приведены нек-рые результаты из перечисленных направлений. 1. Функции, моногенные в области. Если [img: http://localhost:8080/file/031417-329.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031417-330.jpg] (при этом [img: http://localhost:8080/file/031417-331.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031417-332.jpg] - действительнозначные функции), то для аналитичности [img: http://localhost:8080/file/031417-333.jpg] в области Gдостаточно (и необходимо) выполнения в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/031417-334.jpg] одновременно двух условий: 1) [img: http://localhost:8080/file/031417-335.jpg] имеют полные дифференциалы [img: http://localhost:8080/file/031417-336.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031417-337.jpg] по совокупности действительных переменных (x, y); 2) выполнены условия Коши - Римана: [img: http://localhost:8080/file/031417-338.jpg] Условия этой теоремы ослаблялись и обобщались. Напр., показано, что требование существования полных дифференциалов у [img: http://localhost:8080/file/031417-339.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031417-340.jpg] можно заменить существенно более слабым условием ограниченности [img: http://localhost:8080/file/031417-341.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031417-342.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031417-343.jpg] и, сохранив требование существования первых частных производных функций [img: http://localhost:8080/file/031417-344.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031417-345.jpg] всюду в G, потребовать выполнение условий Коши - Римана лишь почти всюду в G(в смысле плоской меры, Лебега) (см. [6]). Пусть [img: http://localhost:8080/file/031417-346.jpg] - какая-либо пара различных прямых, пересекающихся в точке z, R(z) - какая-либо тройка выходящих из z попарно неколлинеарных лучей и Е(z) - какое-либо измеримое множество, имеющее z своей точкой плотности в смысле Лебега. Аналитичность непрерывной в Gфункции f(z) обеспечивается каждым из следующих условий в отдельности (см. [3] - [5]): а) всюду в Gсуществует [img: http://localhost:8080/file/031417-347.jpg] б) всюду в Gсуществует [img: http://localhost:8080/file/031417-348.jpg] в) всюду в Gсуществует [img: http://localhost:8080/file/031417-349.jpg]. Здесь каждое из множеств L(z), R(z), Е(z) - свое для каждой точки. Следует заметить, что [img: http://localhost:8080/file/031417-350.jpg] зависит от f и z, но не зависит от Е(z); производная [img: http://localhost:8080/file/031417-351.jpg] наз. асимптотической (аппроксимативной) производной, а функция, имеющая аеймптотич. производную в точке z(соответственно в области G), наз. асимптотически моногенной в точке z (соответственно в G). Вместо условия б) достаточно потребовать существования предела для [img: http://localhost:8080/file/031417-352.jpg] 2. Функции, моногенные на нигде не плотных множествах. Э. Борель [8] построил такое совершенное связное множество (континуум) Ебез внутренних точек и такую расширяющуюся последовательность [img: http://localhost:8080/file/031417-353.jpg] совершенных множеств, что площадь [img: http://localhost:8080/file/031417-354.jpg] множества Еположительна, [img: http://localhost:8080/file/031417-355.jpg] и из моногенности f(z) на Е(или хотя бы на каждом множестве [img: http://localhost:8080/file/031417-356.jpg]) следует бесконечная дифференцируемость [img: http://localhost:8080/file/031417-357.jpg] по [img: http://localhost:8080/file/031417-358.jpg] при каждом фиксированном [img: http://localhost:8080/file/031417-359.jpg]. Можно указать нек-рые сравнительно общие достаточные условия на Е, чтобы Еобладало этим свойством или более слабым свойством k-кратной дифференцируемости по [img: http://localhost:8080/file/031417-360.jpg], где k- наперед заданное натуральное число. Найдены также достаточные условия на нигде не плотный континуум Едля того, чтобы для функций, моногенных на нем, были справедливы аналоги интегральной теоремы Коши, разложения в ряд Тейлора и различные формы теоремы единственности, напр, такая: если моногенные на Ефункции f1 (z) и f2 (z) совпадают на нек-рой порции множества Е(т. е. на непустом пересечении Ес нек-рым открытым кругом), то [img: http://localhost:8080/file/031417-361.jpg] на Е(см. [9]). 3. Функции, близкие к аналитическим. Как известно, любая аналитическая в области Gфункция f(z)является пределом нек-рой последовательности рациональных функций [img: http://localhost:8080/file/031417-362.jpg], к-рая сходится к f(z) равномерно на каждом компакте [img: http://localhost:8080/file/031417-363.jpg]. Рассматривая достаточно массивный нигде не плотный континуум Еи класс [img: http://localhost:8080/file/031417-364.jpg] функций [img: http://localhost:8080/file/031417-365.jpg] для каждой из к-рых существует последовательность рациональных функций [img: http://localhost:8080/file/031417-366.jpg] равномерно сходящаяся к [img: http://localhost:8080/file/031417-367.jpg] получают еще одно обобщение понятия области и понятия функции f(z), аналитической на Е. Если Е - нигде не плотное множество на [img: http://localhost:8080/file/031417-368.jpg], то всегда найдется функция [img: http://localhost:8080/file/031417-369.jpg] не имеющая производной [img: http://localhost:8080/file/031417-370.jpg] ни в одной точке [img: http://localhost:8080/file/031417-371.jpg] (см. [10]). Однако для каждого [img: http://localhost:8080/file/031417-372.jpg] можно указать условие на Е, при выполнении к-рого каждая функция [img: http://localhost:8080/file/031417-373.jpg] будет иметь производные [img: http://localhost:8080/file/031417-374.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031417-375.jpg] замкнуто, [img: http://localhost:8080/file/031417-376.jpg] (см. [11]). М. В. Келдыш построил пример нигде не плотного континуума Е, на к-ром для функций [img: http://localhost:8080/file/031417-377.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031417-378.jpg] справедлива теорема единственности в форме, приведенной в конце п. 2 (см. также [12]). (По поводу моногенных свойств функций из R(Е)в терминах функционального анализа см. [12] ч. I, § 17.) Исследовалась также зависимость моногенных свойств функций [img: http://localhost:8080/file/031417-379.jpg] от скорости приближения ее посредством рациональных функций.