Монодромии преобразование

- преобразование слоев (или их гомотопич. инвариантов) расслоенного пространства, соответствующее нек-рому пути в базе. Более точно, пусть [img: http://localhost:8080/file/031417-458.jpg] - локально тривиальное расслоение и пусть [img: http://localhost:8080/file/031417-459.jpg] - путь в Вс началом в точке [img: http://localhost:8080/file/031417-460.jpg] и концом в [img: http://localhost:8080/file/031417-461.jpg]. Тривиализация расслоения [img: http://localhost:8080/file/031417-462.jpg] определяет гомеоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031417-463.jpg] слоя [img: http://localhost:8080/file/031417-464.jpg] на слой. [img: http://localhost:8080/file/031417-465.jpg]. При изменении тривиализации [img: http://localhost:8080/file/031417-466.jpg] гомеоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031417-467.jpg] заменяется на гомотопически эквивалентный гомеоморфизм; это же происходит и при замене пути угомотопным путем. Гомотопич. тип гомеоморфизма [img: http://localhost:8080/file/031417-468.jpg] и наз. преобразованием монодромии, соответствующим пути [img: http://localhost:8080/file/031417-469.jpg]. Когда а=b, т. е. когда путь [img: http://localhost:8080/file/031417-470.jpg] является петлей, М. п. [img: http://localhost:8080/file/031417-471.jpg] - гомеоморфизм слоя [img: http://localhost:8080/file/031417-472.jpg] в себя (определенный, опять-таки, с точностью до гомотопии). Это отображение, а также гомоморфизмы, индуцированные им в гомологиях и когомологиях слоя F, также наз. М. п. Сопоставление петле [img: http://localhost:8080/file/031417-473.jpg] преобразования [img: http://localhost:8080/file/031417-474.jpg] задает представление фундаментальной группы [img: http://localhost:8080/file/031417-475.jpg] Понятие М. п. возникло при изучении многозначных аналитич. ций (см. Монодромии теорема). Если [img: http://localhost:8080/file/031417-476.jpg] - риманова поверхность такой функции, то выбрасыванием из сферы Римана [img: http://localhost:8080/file/031417-477.jpg] особых точек функции получается неразветвленноо накрытие. М. п. в этом случае наз. также преобразованием наложения или скольжения. Наиболее часто М. п. возникает в следующей ситуации. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031417-478.jpg] - диск в комплексной плоскости, [img: http://localhost:8080/file/031417-479.jpg] - аналитич. ространство, а [img: http://localhost:8080/file/031417-480.jpg] - собственное голоморфное отображение, [img: http://localhost:8080/file/031417-481.jpg] - слой [img: http://localhost:8080/file/031417-482.jpg] Уменьшая, если нужно, радиус D, можно добиться, чтобы расслоение [img: http://localhost:8080/file/031417-483.jpg] стало локально тривиальным. М. п. Т, связанное с обходом вокруг О в D, наз. монодромией семейства [img: http://localhost:8080/file/031417-484.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/031417-485.jpg]; оно действует в когомологиях (или гомологиях) слоя [img: http://localhost:8080/file/031417-486.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031417-487.jpg] Более других изучен случай, когда пространство Xгладкое, как и все слои [img: http://localhost:8080/file/031417-488.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031417-489.jpg] Действие монодромии Тна пространстве [img: http://localhost:8080/file/031417-490.jpg] в этом случае квазиунипотентно [4], т. е. существуют целые положительные числа ки N такие, что [img: http://localhost:8080/file/031417-491.jpg]. В свойствах монодромии проявляются многие характерные черты вырождения семейства [img: http://localhost:8080/file/031417-492.jpg] Монодромия семейства [img: http://localhost:8080/file/031417-493.jpg] тесно связана со смешанной структурой Ходжа в когомологиях [img: http://localhost:8080/file/031417-494.jpg] (см. [5] - [7]). В случае, когда особенности [img: http://localhost:8080/file/031417-495.jpg] изолированы, М. п. может быть локализовано. Пусть х- особая точка отображения f (или, что то же, слоя Х о). и пусть В- шар достаточно малого радиуса в Xс центром в х. Уменьшая, если нужно, радиус D, можно определить локальную тривиализацию расслоения [img: http://localhost:8080/file/031417-496.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031417-497.jpg] согласованную на границе с тривиализацией расслоения [img: http://localhost:8080/file/031417-498.jpg] Это дает диффеоморфизм Тмногообразия "исчезающих циклов" [img: http://localhost:8080/file/031417-499.jpg] в себя, тождественный на его крае [img: http://localhost:8080/file/031417-500.jpg] и называемый локальной монодромией f в точке х. Действие М. п. на когомологиях [img: http://localhost:8080/file/031417-501.jpg] отражает важнейшее свойство особенности отображения f в точке х(см. [1], [2], [7]). Известно, что многообразие [img: http://localhost:8080/file/031417-502.jpg] гомотопически эквивалентно букету [img: http://localhost:8080/file/031417-503.jpg] n-мерных сфер, где [img: http://localhost:8080/file/031417-504.jpg] - число Милнора ростка fв х. Простейшим является случай особенности Морса, когда функция f в окрестности точки хприводится к виду [img: http://localhost:8080/file/031417-505.jpg] В этом случае [img: http://localhost:8080/file/031417-506.jpg], а внутренность [img: http://localhost:8080/file/031417-507.jpg] многообразия [img: http://localhost:8080/file/031417-508.jpg] диффеоморфна касательному расслоению к n-мерной сфере [img: http://localhost:8080/file/031417-509.jpg]. Исчезающим циклом [img: http://localhost:8080/file/031417-510.jpg] наз. образующая группы когомологий с компактными носителями [img: http://localhost:8080/file/031417-511.jpg] определенная с точностью до знака. Вообще, если [img: http://localhost:8080/file/031417-512.jpg] - собственное голоморфное отображение (как выше, имеющее единственную морсовскую особенность в точке х), то исчезающим в точке хциклом [img: http://localhost:8080/file/031417-513.jpg] наз. также образ цикла [img: http://localhost:8080/file/031417-514.jpg] при естественном отображении [img: http://localhost:8080/file/031417-515.jpg] В этом случае гомоморфизм специализации [img: http://localhost:8080/file/031417-516.jpg] является изоморфизмом при [img: http://localhost:8080/file/031417-517.jpg] и последовательность [img: http://localhost:8080/file/031417-518.jpg] точна. М. п. Тдействует на [img: http://localhost:8080/file/031417-519.jpg] тривиально при [img: http://localhost:8080/file/031417-520.jpg] а его действие на [img: http://localhost:8080/file/031417-521.jpg] задается формулами Пикар а-Лефшеца: для [img: http://localhost:8080/file/031417-522.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031417-523.jpg] Знаки в этой формуле и значения [img: http://localhost:8080/file/031417-524.jpg] собраны в таблице. [img: http://localhost:8080/file/031417-525.jpg] М. п. Тсохраняет форму пересечения на [img: http://localhost:8080/file/031417-526.jpg]. Исчезающие циклы и М. п. используются в теории Пикара - Лефшеца, сравнивающей когомологии проективного комплексного многообразия и его гиперплоского сечения. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031417-527.jpg] - гладкое многообразие размерности [img: http://localhost:8080/file/031417-528.jpg] - пучок гиперплоских сечений многообразия Xс базисным множеством (осью пучка) [img: http://localhost:8080/file/031417-529.jpg]; и пусть выполняются следующие условия: а) [img: http://localhost:8080/file/031417-530.jpg] - гладкое подмногообразие в X;б) существует такое конечное множество [img: http://localhost:8080/file/031417-531.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031417-532.jpg] гладкое при [img: http://localhost:8080/file/031417-533.jpg] в) для [img: http://localhost:8080/file/031417-534.jpg] многообразие [img: http://localhost:8080/file/031417-535.jpg] имеет единственную невырожденную квадратичную особую точку [img: http://localhost:8080/file/031417-536.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/031417-537.jpg]. Пучки с такими свойствами (пучки Лефшеца) всегда существуют. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031417-538.jpg] - моноидальное преобразование с центром в оси пучка [img: http://localhost:8080/file/031417-539.jpg] - морфизм, определяемый пучком [img: http://localhost:8080/file/031417-540.jpg]; при этом [img: http://localhost:8080/file/031417-541.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031417-542.jpg]. Фиксируется точка [img: http://localhost:8080/file/031417-543.jpg]; тогда М. п. задает действие фундаментальной группы [img: http://localhost:8080/file/031417-544.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031417-545.jpg] (нетривиальное лишь при i=n). Для описания действия монодромии на [img: http://localhost:8080/file/031417-546.jpg] выбираются точки [img: http://localhost:8080/file/031417-547.jpg], расположенные около [img: http://localhost:8080/file/031417-548.jpg], и пути [img: http://localhost:8080/file/031417-549.jpg], ведущие из о в [img: http://localhost:8080/file/031417-550.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031417-551.jpg] - петля, устроенная так: сначала она идет по [img: http://localhost:8080/file/031417-552.jpg], затем обходит один раз вокруг s и, наконец, возвращается по [img: http://localhost:8080/file/031417-553.jpg] в о. Кроме того, пусть [img: http://localhost:8080/file/031417-554.jpg] - исчезающий в точке [img: http://localhost:8080/file/031417-555.jpg] цикл (точнее, нужно взять исчезающий цикл в [img: http://localhost:8080/file/031417-556.jpg] и перенести его в [img: http://localhost:8080/file/031417-557.jpg] при помощи М. п., соответствующего пути [img: http://localhost:8080/file/031417-558.jpg]). Пусть, наконец, [img: http://localhost:8080/file/031417-559.jpg] - подпространство, порожденное исчезающими циклами [img: http://localhost:8080/file/031417-560.jpg] (пространство исчезающих когомологий). Тогда имеют место следующие утверждения: 1) группа порождается [img: http://localhost:8080/file/031417-561.jpg] элементами [img: http://localhost:8080/file/031417-562.jpg] 2) действие [img: http://localhost:8080/file/031417-563.jpg] задается формулой [img: http://localhost:8080/file/031417-564.jpg] 3) пространство [img: http://localhost:8080/file/031417-565.jpg] инвариантно относительно действия группы монодромии [img: http://localhost:8080/file/031417-566.jpg]; 4) подпространство инвариантных относительно монодромии элементов [img: http://localhost:8080/file/031417-567.jpg] совпадает с ортогональным дополнением к Еотносительно формы пересечения на [img: http://localhost:8080/file/031417-568.jpg], а также с образами естественных гомоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/031417-569.jpg] 5) исчезающие циклы [img: http://localhost:8080/file/031417-570.jpg] сопряжены (с точностью до знака) относительно действия [img: http://localhost:8080/file/031417-571.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/031417-572.jpg]); 6) действие [img: http://localhost:8080/file/031417-573.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/031417-574.jpg]) на Еабсолютно неприводимо. Формализм исчезающих циклов, М. п. и теория Пикара - Лефшеца построены также для l -адических когомологий алгебраич. многообразий над любым полем (см. [3]).