Монотонный оператор

- одно из понятий нелинейного функционального анализа. Пусть Е- банахово пространство, [img: http://localhost:8080/file/031418-166.jpg] - его сопряженное, [img: http://localhost:8080/file/031418-167.jpg] - значение линейного функционала [img: http://localhost:8080/file/031418-168.jpg] на элементе [img: http://localhost:8080/file/031418-169.jpg]. Оператор А, вообще говоря, нелинейный и действующий из [img: http://localhost:8080/file/031418-170.jpg], наз. монотонным, если [img: http://localhost:8080/file/031418-171.jpg] для любых [img: http://localhost:8080/file/031418-172.jpg]. Оператор [img: http://localhost:8080/file/031418-173.jpg] наз. полунепрерывным, если для любых [img: http://localhost:8080/file/031418-174.jpg] числовая функция [img: http://localhost:8080/file/031418-175.jpg] непрерывна по t. Примером полунепрерывного М. о. является градиент выпуклого дифференцируемого в смысле Гато функционала. Многие функционалы вариационного исчисления выпуклы и потому порождают М. о.; они полезны при решении нелинейных интегральных уравнений и именно к ним впервые применялись. Различные приложения М. о. к вопросам разрешимости нелинейных уравнений основаны на следующей теореме (см. [1], [2]). Пусть Е- рефлексивное банахово пространство и А- полунепрерывный М. о., обладающий свойством коэрцитивности, [img: http://localhost:8080/file/031418-176.jpg] Тогда для любого [img: http://localhost:8080/file/031418-177.jpg] уравнение [img: http://localhost:8080/file/031418-178.jpg] имеет хотя бы одно решение. Определенный на множестве [img: http://localhost:8080/file/031418-179.jpg] оператор Асо значениями в [img: http://localhost:8080/file/031418-180.jpg] наз. монотонным на D, если неравенство (1) имеет место для любых [img: http://localhost:8080/file/031418-181.jpg] и максимальным монотонным, если он монотонный на Dи не имеет строгого монотонного расширения. Исследование уравнений с М. о. во многом стимулировалось задачами теории квазилинейных эллиптич. и параболич. уравнений. Так, напр., краевые задачи для квазилинейных параболич. уравнений приводят к уравнению вида [img: http://localhost:8080/file/031418-182.jpg] в подходящем банаховом пространстве Е. Такое же уравнение естественным образом возникает и при исследовании задачи Коши для абстрактных эволюционных уравнений с нелинейными операторами в банаховых пространствах. Если пространство Ерефлексивно, [img: http://localhost:8080/file/031418-183.jpg] - ограниченный, полунепрерывный и коэрцитивный М. о., а [img: http://localhost:8080/file/031418-184.jpg] - линейный максимальный М. о. с плотной в Еобластью определения, то уравнение (2) разрешимо при любом [img: http://localhost:8080/file/031418-185.jpg]. Идеи монотонности применялись также в задаче о почти периодических решениях нелинейных параболич. уравнений.