Монтеля теорема

- 1) М. т. о приближении аналитических функций многочленами: если D- открытое множество точек комплексной плоскости z, не содержащее точку [img: http://localhost:8080/file/031418-304.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/031418-305.jpg] - однозначная функция, аналитическая в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/031418-306.jpg], то существует последовательность многочленов [img: http://localhost:8080/file/031418-307.jpg], сходящаяся к [img: http://localhost:8080/file/031418-308.jpg] в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/031418-309.jpg]. Эта теорема является одной из основных в теории приближения функций комплексного переменного; получена П. Монтелем [1]. 2) М. т. об условиях компактности семейства голоморфных функций (принцип компактности, см. [2]): пусть [img: http://localhost:8080/file/031418-310.jpg] - бесконечное семейство голоморфных функций в области Dкомплексной плоскости [img: http://localhost:8080/file/031418-311.jpg] тогда для того чтобы семейство [img: http://localhost:8080/file/031418-312.jpg] было компактным, т. е. чтобы из любой последовательности [img: http://localhost:8080/file/031418-313.jpg] можно было выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри D, необходимо и достаточно, чтобы j было равномерно ограничено внутри D. Эта М. т. обобщается на области Dв пространстве [img: http://localhost:8080/file/031418-314.jpg] (см. Компактности принцип). 3) М. т. об условиях нормальности семейства голоморфных функций (принцип нормальности, см. [2]): пусть [img: http://localhost:8080/file/031418-315.jpg] - бесконечное семейство голоморфных функций в области Dкомплексной плоскости z. Если существуют два различных значения аи b, к-рые не принимаются ни одной функцией [img: http://localhost:8080/file/031418-316.jpg] - нормальное семейство, т. е. из любой последовательности [img: http://localhost:8080/file/031418-317.jpg] можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри Dк голоморфной функции или к [img: http://localhost:8080/file/031418-318.jpg] Условие этой М. т. можно несколько ослабить: достаточно потребовать, чтобы все функции [img: http://localhost:8080/file/031418-319.jpg] не принимали одного из значений, напр, а, а другое значение Ъпринимали не более траз, [img: http://localhost:8080/file/031418-320.jpg] Эта М. т. обобщается на случай областей Dв пространстве [img: http://localhost:8080/file/031418-321.jpg]