Морса индекс

- число, сопоставляемое критической точке гладкой функции на многообразии или геодезической на римановом (или финслеровом) многообразии. 1) М. и. критической точки ргладкой функции f на многообразии Мравен, по определению, отрицательному индексу инерции гессиана функции f в точке р, т. е. размерности максимального из подпространств касательного пространства [img: http://localhost:8080/file/031418-357.jpg] многообразия Мв точке р, на к-ром гессиан отрицательно определен. Это определение имеет смысл и для дважды дифференцируемой (по Фреше) функции на бесконечномерном банаховом многообразии. Отличие состоит лишь в том, что для индекса допускается значение [img: http://localhost:8080/file/031418-358.jpg]. В этом случае целесообразно ввести понятие коиндекса критич. точки рфункции f как положительного индекса инерции гессиана (2-го дифференциала Фреше) функции f в точке р.2) Пусть [img: http://localhost:8080/file/031418-359.jpg] - два гладких подмногообразия полного риманова пространства М. Для кусочно гладкого пути [img: http://localhost:8080/file/031418-360.jpg] трансверсального к [img: http://localhost:8080/file/031418-361.jpg] на своих концах [img: http://localhost:8080/file/031418-362.jpg], аналогом касательного пространства является векторное пространство [img: http://localhost:8080/file/031418-363.jpg] всех таких кусочно гладких векторных полей Wвдоль [img: http://localhost:8080/file/031418-364.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/031418-365.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031418-366.jpg] Для любой геодезической [img: http://localhost:8080/file/031418-367.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/031418-368.jpg] ортогональной в своих концах [img: http://localhost:8080/file/031418-369.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031418-370.jpg] к Vo и V1 соответственно, 2-я вариация [img: http://localhost:8080/file/031418-371.jpg] функционала действия (см. Морса теория)определяет симметричный билинейный функционал [img: http://localhost:8080/file/031418-372.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031418-373.jpg] (аналог гессиана). М. и. геодезической равен, по определению, отрицательному индексу инерации этого функционала. Нулевое пространство [img: http://localhost:8080/file/031418-374.jpg] гессиана [img: http://localhost:8080/file/031418-375.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031418-376.jpg] (множество [img: http://localhost:8080/file/031418-377.jpg], для к-рого [img: http://localhost:8080/file/031418-378.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031418-379.jpg]) в точности состоит из Якоби полей [img: http://localhost:8080/file/031418-380.jpg]. При [img: http://localhost:8080/file/031418-381.jpg] геодезическая наз. [img: http://localhost:8080/file/031418-382.jpg] -вырожденной, и [img: http://localhost:8080/file/031418-383.jpg] наз. степенью вырождения геодезической. Геометрич. интерпретация М. и. в общем случае весьма тяжеловесна и, по-видимому (1982), не окончательна [2]. Поэтому здесь рассматривается случай, когда [img: http://localhost:8080/file/031418-384.jpg] является точкой [img: http://localhost:8080/file/031418-385.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031418-386.jpg] - нормальное расслоение к многообразию [img: http://localhost:8080/file/031418-387.jpg] в многообразии М, а [img: http://localhost:8080/file/031418-388.jpg] - его слой над точкой [img: http://localhost:8080/file/031418-389.jpg]. Сужение экспоненциального отображения [img: http://localhost:8080/file/031418-390.jpg] определяет отображение [img: http://localhost:8080/file/031418-391.jpg]. Геодезическая [img: http://localhost:8080/file/031418-392.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031418-393.jpg] тогда и только тогда [img: http://localhost:8080/file/031418-394.jpg] -вырождена, когда ядро дифференциала [img: http://localhost:8080/file/031418-395.jpg] отображения ехр в точке [img: http://localhost:8080/file/031418-396.jpg] отлично от нуля; при этом размерность этого ядра равна степени вырождения геодезической [img: http://localhost:8080/file/031418-397.jpg]. Точка [img: http://localhost:8080/file/031418-398.jpg] наз. фокальной точкой многообразия Vвдоль геодезической [img: http://localhost:8080/file/031418-399.jpg], если геодезическая [img: http://localhost:8080/file/031418-400.jpg] вырождена; степень вырождения геодезической [img: http://localhost:8080/file/031418-401.jpg] наз. кратностью фокальной точки s. По Сарда теореме множество фокальных точек имеет меру нуль, так что типичная геодезическая невырождена. Если V тоже состоит из одной точки [img: http://localhost:8080/file/031418-402.jpg] (случай [img: http://localhost:8080/file/031418-403.jpg] не исключается), то фокальная точка наз. сопряженной с рвдоль геодезической [img: http://localhost:8080/file/031418-404.jpg] Теорема Морса об индексе [1] утверждает, что М. и. геодезической конечен и равен числу сосчитанных с учетом кратности фокальных точек [img: http://localhost:8080/file/031418-405.jpg] многообразия V, 0<t<1.