Морса неравенства

- вытекающие из теории Морса неравенства, связывающие число критических точек функции Морса на многообразии с его гомологич. инвариантами. Пусть f - Морса функция на гладком n-мерном многообразии (без края) М, имеющая конечное число критич. точек. Тогда гомологии группы [img: http://localhost:8080/file/031418-429.jpg] конечно порождены и потому определены их ранги [img: http://localhost:8080/file/031418-430.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031418-431.jpg] и периодич. ранги [img: http://localhost:8080/file/031418-432.jpg] (периодический ранг абелевой группы Ас конечным числом образующих - минимальное число циклич. групп, в прямую сумму к-рых может быть разложена максимальная периодич. подгруппа группы А). М. н. связывают число [img: http://localhost:8080/file/031418-433.jpg] критич. точек функции [img: http://localhost:8080/file/031418-434.jpg], имеющих Морса индекс [img: http://localhost:8080/file/031418-435.jpg], с этими рангами, и имеют вид: [img: http://localhost:8080/file/031418-436.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/031418-437.jpg] последнее М. н. всегда является равенством, так что [img: http://localhost:8080/file/031418-438.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031418-439.jpg] - эйлерова характеристика многообразия М. М. н. имеют место и для функций Морса триад [img: http://localhost:8080/file/031418-440.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031418-441.jpg] достаточно заменить группы [img: http://localhost:8080/file/031418-442.jpg] группами относительных гомологии [img: http://localhost:8080/file/031418-443.jpg]. Согласно М. н. многообразие, имеющее "большие" группы гомологии, не допускает функций Морса с малым числом критич. точек. Замечательно, что даваемые М. н. оценки точны: на замкнутом односвязном многообразии размерности [img: http://localhost:8080/file/031418-444.jpg] существует функция Морса, для к-рой М. н. являются равенствами (Смейла теорема, см. [2]). В частности, на любом замкнутом многообразии, гомотопически эквивалентном сфере [img: http://localhost:8080/file/031418-445.jpg], существует функция Морса с двумя критич. точками, откуда непосредственно следует (см. Морса теория), что многообразие Мгомеоморфно сфере [img: http://localhost:8080/file/031418-446.jpg] (см. Пуанкаре гипотеза). Аналогичное применение теоремы Смейла позволяет доказать и теоремы об h- и s-кобордизмах. Аналоги М. н. имеют место также для функций Морса [img: http://localhost:8080/file/031418-447.jpg] на бесконечномерных гильбертовых многообразиях и связывают (для любых регулярных значений [img: http://localhost:8080/file/031418-448.jpg] функции f) числа [img: http://localhost:8080/file/031418-449.jpg] лежащих в [img: http://localhost:8080/file/031418-450.jpg] критич. точек конечного индекса [img: http://localhost:8080/file/031418-451.jpg] с рангом [img: http://localhost:8080/file/031418-452.jpg] и периодич. рангом [img: http://localhost:8080/file/031418-453.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/031418-454.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031418-455.jpg]. Именно, [img: http://localhost:8080/file/031418-456.jpg] При достаточно больших [img: http://localhost:8080/file/031418-457.jpg] последнее неравенство становится равенством.