Морса перестройка

хирургия,- преобразование гладких многообразий, к-рому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку;важнейшая конструкция в топологии многообразий. Пусть V- гладкое п- мерное многообразие (без края), в к-рое (гладко) вложена [img: http://localhost:8080/file/031418-458.jpg] -мерная сфера [img: http://localhost:8080/file/031418-459.jpg] Предположим, что нормальное расслоение сферы [img: http://localhost:8080/file/031418-460.jpg] в многообразии [img: http://localhost:8080/file/031418-461.jpg] тривиально, т. е. что замкнутая трубчатая окрестность [img: http://localhost:8080/file/031418-462.jpg] сферы [img: http://localhost:8080/file/031418-463.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031418-464.jpg] разлагается в прямое произведение [img: http://localhost:8080/file/031418-465.jpg] - диск размерности [img: http://localhost:8080/file/031418-466.jpg]. Выбрав такое разложение, вырежем из Vвнутренность окрестности Т. Получится многообразие, край к-рого разложен в произведение [img: http://localhost:8080/file/031418-467.jpg] сфер. Но точно такой же край имеет многообразие [img: http://localhost:8080/file/031418-468.jpg] Отождествив края многообразий [img: http://localhost:8080/file/031418-469.jpg] по диффеоморфизму, сохраняющему структуру прямого произведения [img: http://localhost:8080/file/031418-470.jpg] X [img: http://localhost:8080/file/031418-471.jpg] снова получим многообразие [img: http://localhost:8080/file/031418-472.jpg] без края, к-рое и наз. результатом перестройки Морса многообразия Vвдоль сферы [img: http://localhost:8080/file/031418-473.jpg]. Для осуществления М. п. необходимо задать разложение окрестности Тсферы [img: http://localhost:8080/file/031418-474.jpg] в прямое произведение, т. е. тривиализацию нормального расслоения сферы [img: http://localhost:8080/file/031418-475.jpg] в многообразии V, при этом разные тривиализации (оснащения) могут давать существенно различные (даже гомотопически) многообразия [img: http://localhost:8080/file/031418-476.jpg]. Число [img: http://localhost:8080/file/031418-477.jpg] наз. индексом М. п., а пара [img: http://localhost:8080/file/031418-478.jpg] ее типом. Если [img: http://localhost:8080/file/031418-479.jpg] получается из VМ. п. типа ([img: http://localhost:8080/file/031418-480.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031418-481.jpg]), то Vполучается из [img: http://localhost:8080/file/031418-482.jpg] М. п. типа [img: http://localhost:8080/file/031418-483.jpg]. При [img: http://localhost:8080/file/031418-484.jpg] многообразие [img: http://localhost:8080/file/031418-485.jpg] является дизъюнктным объединением многообразия V(к-рое может быть в этом случае пустым) и сферы [img: http://localhost:8080/file/031418-486.jpg]. Конструкция М. п. может быть проведена также для кусочно линейных и топологич. многообразий. Пример. При [img: http://localhost:8080/file/031418-487.jpg] в результате М. п. получается дизъюнктное объединение двух сфер, а при [img: http://localhost:8080/file/031418-488.jpg] - тор. При [img: http://localhost:8080/file/031418-489.jpg] получается произведение [img: http://localhost:8080/file/031418-490.jpg].Случай [img: http://localhost:8080/file/031418-491.jpg] сложнее: если сфера [img: http://localhost:8080/file/031418-492.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031418-493.jpg] вложена в [img: http://localhost:8080/file/031418-494.jpg] стандартным образом (большая окружность), то в зависимости от выбора ее тривиализации нормального расслоения получаются всевозможные линзовые пространства;если же допустить заузливание сферы S1, то получается еще больший набор трехмерных многообразий. Если Vявляется краем [img: http://localhost:8080/file/031418-495.jpg] -мерного многообразия М, то [img: http://localhost:8080/file/031418-496.jpg] будет краем многообразия [img: http://localhost:8080/file/031418-497.jpg], полученного из Мприклеиванием ручки индекса [img: http://localhost:8080/file/031418-498.jpg]. В частности, если f - гладкая функция на многообразии [img: http://localhost:8080/file/031418-499.jpg] - такие числа, что множество [img: http://localhost:8080/file/031418-500.jpg] компактно и содержит единственную критич. точку р, к-рая невырождена, то многообразие [img: http://localhost:8080/file/031418-501.jpg] получается из многообразия [img: http://localhost:8080/file/031418-502.jpg] М. п. индекса [img: http://localhost:8080/file/031418-503.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031418-504.jpg] - Морса индекс критич. точки р. Более общим образом, любая перестройка [img: http://localhost:8080/file/031418-505.jpg] многообразия [img: http://localhost:8080/file/031418-506.jpg] индекса [img: http://localhost:8080/file/031418-507.jpg] определяет нек-рый бордизм [img: http://localhost:8080/file/031418-508.jpg] (получающийся из произведения [img: http://localhost:8080/file/031418-509.jpg] приклеиванием ручки индекса [img: http://localhost:8080/file/031418-510.jpg] к его "правому краю" [img: http://localhost:8080/file/031418-511.jpg]), и на триаде [img: http://localhost:8080/file/031418-512.jpg] существует Морса функция, обладающая единственной критич. точкой индекса [img: http://localhost:8080/file/031418-513.jpg], причем любой бордизм ([img: http://localhost:8080/file/031418-514.jpg]; [img: http://localhost:8080/file/031418-515.jpg]), на к-ром существует такого рода функция Морса, получается этим способом. Отсюда (и из существования на триадах функций Морса) следует, что два многообразия тогда и только тогда бордантны, когда одно из них получается из другого конечной последовательностью М. п. При известных предосторожностях в обращении с ориентациями результат М. п. ориентированного многообразия будет снова ориентированным многообразием. Вообще, для любой структурной серии [img: http://localhost:8080/file/031418-516.jpg] (см. [img: http://localhost:8080/file/031418-517.jpg] -структуры)можно определить понятие [img: http://localhost:8080/file/031418-518.jpg] перестройки Морса; при этом два многообразия тогда и только тогда [img: http://localhost:8080/file/031418-519.jpg] -бордантны, когда они связаны друг с другом конечной последовательностью [img: http://localhost:8080/file/031418-520.jpg] М. п. Важная роль М. п. в топологии многообразий объясняется тем, что они позволяют "деликатно" (не нарушая тех или иных свойств многообразия) уничтожать "лишние" гомотопич. группы (обычно используемая с этой целью в теории гомотопий операция "приклеивания клетки" мгновенно выводит из класса многообразий). Практически все теоремы классификации структур на многообразиях основываются на изучении вопроса, когда для отображения [img: http://localhost:8080/file/031418-521.jpg] замкнутого многообразия Мв клеточное пространство Xсуществуют такой бордизм [img: http://localhost:8080/file/031418-522.jpg] и такое отображение [img: http://localhost:8080/file/031418-523.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031418-524.jpg] является гомотопич. эквивалентностью. Естественный путь решения этой задачи состоит в том, чтобы последовательностью М. п. уничтожить ядра гомоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/031418-525.jpg] (где [img: http://localhost:8080/file/031418-526.jpg] - гомотопич. группы). Если это удается, то результирующее отображение будет гомотопич. эквивалентностью. Изучение соответствующих препятствий (лежащих в т. н. группах Уолла, см. [4]) явилось одним из главнейших стимулов в развитии алгебраической К-теории.