Морса - смейла система

динамическая - гладкий поток [img: http://localhost:8080/file/031419-39.jpg] или каскад [img: http://localhost:8080/file/031419-40.jpg] (порожденный диффеоморфизмом S, к-рый в этом случае наз. диффеоморфизмом Морса - Смейла) на компактном (обычно замкнутом) дифференцируемом m-мерном многообразии [img: http://localhost:8080/file/031419-41.jpg], имеющий следующие свойства. 1) Система имеет конечное число периодич. траекторий (включая сюда в случае каскада и неподвижные точки) и (в случае потока) положений равновесия. 2) Каждая траектория из перечисленных в 1) обладает локальной грубостью (обычно в определении фигурируют эквивалентные этому свойства соответствующих линеаризованных систем). Это гарантирует существование у траектории устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий [img: http://localhost:8080/file/031419-42.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031419-43.jpg] (если траектория устойчива или вполне неустойчива, то считается, что [img: http://localhost:8080/file/031419-44.jpg], соответственно [img: http://localhost:8080/file/031419-45.jpg], сводится к ней самой); размерность [img: http://localhost:8080/file/031419-46.jpg] наз. ее индексом. Индекс обобщает понятие Морса индекса невырожденной критической (стационарной) точки [img: http://localhost:8080/file/031419-47.jpg] гладкой функции [img: http://localhost:8080/file/031419-48.jpg], ибо последний совпадает с индексом w0 как положения равновесия градиентной динамической системы [img: http://localhost:8080/file/031419-49.jpg] где градиент берется по отношению к какой-нибудь ри-мановой метрике на М. 3) Инвариантные многообразия траекторий из перечисленных в 1) пересекаются трансверсально (т. е. если [img: http://localhost:8080/file/031419-50.jpg] то касательные пространства [img: http://localhost:8080/file/031419-51.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031419-52.jpg]) 4)Все остальные траектории приили [img: http://localhost:8080/file/031419-53.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031419-54.jpg] стремятся к траекториям из перечисленных в 1). 5) Если Мимеет край, то нужны еще нек-рые условия о поведении системы вблизи края. Для потоков (до сих пор в этом случае только они и рассматривались) обычно требуют, чтобы вектор фазовой скорости был всюду трансверсален к краю. М.- С. с. являются грубыми системами [1]. Именно в связи с изучением последних впервые рассматривались частные случаи М.- С. с.- потоки в плоских областях (см. более позднее подробное изложение в [2]) и каскады на окружности (см. [4] - [6]). В общем случае М.- С. с. введены С. Смейлом [7], ограничившимся тогда М. - С. с. на замкнутом М, для к-рых были доказаны следующие неравенства Морса - Смейла. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031419-55.jpg] для каскада - число периодич. точек индекса [img: http://localhost:8080/file/031419-56.jpg], а в случае потока - сумма числа положений равновесия индекса [img: http://localhost:8080/file/031419-57.jpg] и числа периодич. траекторий индексов [img: http://localhost:8080/file/031419-58.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031419-59.jpg]; тогда при [img: http://localhost:8080/file/031419-60.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031419-61.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031419-62.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031419-63.jpg] есть i-e Бетти число многообразия М(если среди [img: http://localhost:8080/file/031419-64.jpg] введенных в 2), имеются неориентируемые, то числа Бетти надо брать над полем характеристики два). При [img: http://localhost:8080/file/031419-65.jpg] неравенство (2) обращается в равенство. Неравенства (2) обобщают обычные Морса неравенства для гладкой функции [img: http://localhost:8080/file/031419-66.jpg] с невырожденными критич. точками. Именно, неравенства Морса можно получить применением (2) к системе (1) (к-рая, правда, не обязательно является М.- С. с, так что требуется небольшое дополнительное рассуждение, см. [7],[8]). Исследовался вопрос, когда в данном классе изотопии диффеоморфизмов существует диффеоморфизм Морса - Смейла (см. [9], [10]), а для [img: http://localhost:8080/file/031419-67.jpg] с нулевой эйлеровой характеристикой - и аналогичный вопрос о гомотопич. классе неособых векторных полей (здесь при [img: http://localhost:8080/file/031419-68.jpg] ответ всегда положительный, см. [11]). Для потоков при [img: http://localhost:8080/file/031419-69.jpg] (см. [12], [13]) и нек-рых специальных типов потоков при [img: http://localhost:8080/file/031419-70.jpg] (см. [14], [15]) выяснено, какие топологич. инварианты определяют топологич. эквивалентность двух М.- С. с. [В двумерном случае этот вопрос решен для более широкого класса потоков (см. [3], [16]), а случай [img: http://localhost:8080/file/031419-71.jpg] тривиален.]