Мотивов теория

- обобщение различных теорий когомологий алгебраич. многообразий. М. т. систематически обобщает идею использования якобиана алгебраич. кривой Xв качестве замены когомологий [img: http://localhost:8080/file/031419-80.jpg] в классич. теории соответствий и использовании этой теории для изучения дзета-функции кривой Xнад конечным полем. М. т. универсальна в том смысле, что всякая геометрич. теория когомологий типа классич. сингулярных когомологий алгебраич. многообразий над полем [img: http://localhost:8080/file/031419-81.jpg] с постоянными коэффициентами, l-адических когомологий для различных простых чисел l, отличных от характеристики основного поля, кристаллич. когомологий и т. п. (см. Вейля когомологий)является функтором на категории мотивов. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031419-82.jpg] - категория гладких проективных многообразий над полем [img: http://localhost:8080/file/031419-83.jpg] - контравариантный функтор глобальной теории пересечений из [img: http://localhost:8080/file/031419-84.jpg] в категорию коммутативных [img: http://localhost:8080/file/031419-85.jpg] -алгебр, где [img: http://localhost:8080/file/031419-86.jpg] - нек-рое фиксированное кольцо. Напр., [img: http://localhost:8080/file/031419-87.jpg] - кольцо Чжоу классов алгебраич. циклов на Xпо модулю подходящего (рационального, алгебраического, численного и т. п.) отношения эквивалентности, или [img: http://localhost:8080/file/031419-88.jpg] - кольцо Гротендика, или [img: http://localhost:8080/file/031419-89.jpg] - кольцо классов когомологий четной размерности и т. д. Категория [img: http://localhost:8080/file/031419-90.jpg] и функтор [img: http://localhost:8080/file/031419-91.jpg] позволяют определить новую категорию - категорию соответствий [img: http://localhost:8080/file/031419-92.jpg], объектами к-рой являются многообразия [img: http://localhost:8080/file/031419-93.jpg] обозначаемые через [img: http://localhost:8080/file/031419-94.jpg], а морфизмы определяются формулой [img: http://localhost:8080/file/031419-95.jpg] с обычным законом композиции соответствий (см. [1]). Пусть функтор Спринимает значения в категории коммутативных градуированных [img: http://localhost:8080/file/031419-96.jpg] -алгебр [img: http://localhost:8080/file/031419-97.jpg], тогда категория [img: http://localhost:8080/file/031419-98.jpg] будет [img: http://localhost:8080/file/031419-99.jpg] -аддитивной категорией градуированных соответствий. Более того, [img: http://localhost:8080/file/031419-100.jpg] будет обладать прямыми суммами и тензорными произведениями. Категория, объектами к-рой являются многообразия из [img: http://localhost:8080/file/031419-101.jpg], а морфизмами - соответствия степени 0, обозначается [img: http://localhost:8080/file/031419-102.jpg]. Из [img: http://localhost:8080/file/031419-103.jpg] определен естественный функтор в [img: http://localhost:8080/file/031419-104.jpg], и функтор Спродолжается до функтора Тиз [img: http://localhost:8080/file/031419-105.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031419-106.jpg]. Категория [img: http://localhost:8080/file/031419-107.jpg], как и [img: http://localhost:8080/file/031419-108.jpg], не является абелевой. Рассматривается ее псевдоабелево пополнение - категория [img: http://localhost:8080/file/031419-109.jpg], к-рая получается из [img: http://localhost:8080/file/031419-110.jpg] формальным добавлением образов всех проектеров р. Точнее, объектами [img: http://localhost:8080/file/031419-111.jpg] являются пары [img: http://localhost:8080/file/031419-112.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/031419-113.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031419-114.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031419-115.jpg] - это множество соответствий [img: http://localhost:8080/file/031419-116.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/031419-117.jpg] по модулю соответствий [img: http://localhost:8080/file/031419-118.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/031419-119.jpg] Категория [img: http://localhost:8080/file/031419-120.jpg] вкладывается впосредством [img: http://localhost:8080/file/031419-121.jpg] функтора [img: http://localhost:8080/file/031419-122.jpg] Естественный функтор [img: http://localhost:8080/file/031419-123.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031419-124.jpg] наз. функтором мотивных когомологий, а [img: http://localhost:8080/file/031419-125.jpg] - категорией эффективных мотивов. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031419-126.jpg], где е- класс любой рациональной точки на проективной прямой [img: http://localhost:8080/file/031419-127.jpg]. Тогда [img: http://localhost:8080/file/031419-128.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031419-129.jpg] - проективизация локально свободного пучка Еранга r на Y, то [img: http://localhost:8080/file/031419-130.jpg] Вычислены также мотивы моноидального преобразования с неособым центром и мотивы кривых (см. [1]), мотивы абелева многообразия (см. [2]) и мотивы гиперповерхностей Вейля. Категория мотивов [img: http://localhost:8080/file/031419-131.jpg] получается из [img: http://localhost:8080/file/031419-132.jpg] формальным добавлением отрицательных степеней мотива L. По аналогии с l-адическими когомологиями, [img: http://localhost:8080/file/031419-133.jpg] наз. мотивом Тейта. Операция тензорного умножения на мотив Тназ. скручиванием с помощью мотива Тейта. Скручивание позволяет определить понятие уровня мотива, как в l-адических когомологиях. Любой функтор кого-мологий Вейля пропускается через функтор [img: http://localhost:8080/file/031419-134.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031419-135.jpg] Имеется гипотеза, что [img: http://localhost:8080/file/031419-136.jpg] в нек-ром смысле не зависит от теории пересечений Си что сам функтор [img: http://localhost:8080/file/031419-137.jpg] является (универсальной) теорией когомо-логий Вейля. Эта гипотеза тесно связана со стандартными гипотезами Гротендика (см. [5]) об алгебраич. циклах (также пока, 1982, не доказанными).