Надежность и контроль управляющих

СИСТЕМ, проблемы надежности управляющих систем,- одно из направлений теории управляющих систем, к-рое изучает управляющие системы, подверженные помехам. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031501-172.jpg] - нек-рый класс управляющих систем (у. с.) и пусть имеется источник помех, или источник неисправностей, к-рый, воздействуя на у. с. [img: http://localhost:8080/file/031501-173.jpg],. переводит ее в у. с. [img: http://localhost:8080/file/031501-174.jpg] из нек-рого класса [img: http://localhost:8080/file/031501-175.jpg] Если допустить, что источник помех может также сохранять у. с. неизменной, напр. [img: http://localhost:8080/file/031501-176.jpg] Пусть каждая у. с. из [img: http://localhost:8080/file/031501-177.jpg] вполне определяется своей схемой [img: http://localhost:8080/file/031501-178.jpg], тогда воздействие источника помех сводится к воздействию на ее схему [img: http://localhost:8080/file/031501-179.jpg]. Источник неисправностей преобразует схему, что может проявляться: а) путем нарушения работы элементов, т.e. изменением элементов; б) путем изменения соединений элементов и т. п. В результате действия источника неисправностей исходная схема, [img: http://localhost:8080/file/031501-180.jpg] у. с. [img: http://localhost:8080/file/031501-181.jpg] переходит в "неисправные" состояния [img: http://localhost:8080/file/031501-182.jpg] определяющие соответственно у. с. [img: http://localhost:8080/file/031501-183.jpg] Пусть этим схемам соответствуют функции [img: http://localhost:8080/file/031501-184.jpg] наз. также функциями неисправностей (здесь [img: http://localhost:8080/file/031501-185.jpg] характеризует функционирование у. с. [img: http://localhost:8080/file/031501-186.jpg]). Обычно источник неисправностей дополнительно характеризуется либо распределением вероятностей ошибок, либо ограничениями невозможное число элементарных неисправностей. Проблемы надежности рассматриваются в основном для трех классов у. с: схем из функциональных элементов, контактных схем и автоматов. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031501-187.jpg] - класс схем из функциональных элементов, принадлежащих данному базису Б, где [img: http://localhost:8080/file/031501-188.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031501-189.jpg]. В случае, если источник неисправностей воздействует только на элементы схемы, то он преобразует элементы [img: http://localhost:8080/file/031501-190.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/031501-191.jpg] в элементы с таким же числом входов, как и [img: http://localhost:8080/file/031501-192.jpg], но, быть может, с иным функционированием, а элементы из [img: http://localhost:8080/file/031501-193.jpg] оставляет неизменными. Таким образом, [img: http://localhost:8080/file/031501-194.jpg] состоит из ненадежных, а [img: http://localhost:8080/file/031501-195.jpg] - из надежных элементов. В этом Случае источник можно характеризовать вероятностями [img: http://localhost:8080/file/031501-196.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031501-197.jpg] выхода из строя соответственно элементов [img: http://localhost:8080/file/031501-198.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031501-199.jpg]. Напр., [img: http://localhost:8080/file/031501-200.jpg] состоит из инверторов, конъюнкторов. и дизъюнкторов, а [img: http://localhost:8080/file/031501-201.jpg] - из элементов голосования, реализующих соответственно функции [img: http://localhost:8080/file/031501-202.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031501-203.jpg] При этом можно положить, что [img: http://localhost:8080/file/031501-204.jpg] - вероятность выхода из строя элементов из [img: http://localhost:8080/file/031501-205.jpg]. В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/031501-206.jpg] - класс контактных схем, рассматривают источник неисправностей, к-рый в качестве элементарных неисправностей дает либо короткое замыкание контакта, либо разрыв контакта. При этом дополнительно предполагают, что для контактных схем, реализующих функции от ппеременных, возможно не более [img: http://localhost:8080/file/031501-207.jpg] элементарных повреждений. В проблематике Н. и к. у. с. можно выделить три направления. I. Построение надежных схем из ненадежных элементов. Это направление развито для двух классов у. с.: контактных схем и схем из функциональных элементов. В случае схем из функциональных элементов схема [img: http://localhost:8080/file/031501-208.jpg] характеризуется нек-рой вероятностью ртех случаев, когда она функционирует неправильно. Здесь рассматривают два основных вопроса. 1) Какими свойствами должен обладать базис Б, чтобы для любой булевой функции [img: http://localhost:8080/file/031501-209.jpg] и любого [img: http://localhost:8080/file/031501-210.jpg] можно было построить схему [img: http://localhost:8080/file/031501-211.jpg], реализующую [img: http://localhost:8080/file/031501-212.jpg] и такую, что вероятность рсе неправильной работы была бы меньше [img: http://localhost:8080/file/031501-213.jpg], т. е. каждая булева функция допускала бы сколь угодно надежную реализацию. Установлено, что существуют базисы, в к-рых для любой функции возможна сколь угодно надежная реализация. Примером такого базиса является базис Б (см. выше): [img: http://localhost:8080/file/031501-214.jpg] состоит из инверторов, конъюнкторов и дизъюнкторов с вероятностью ошибки [img: http://localhost:8080/file/031501-215.jpg] состоит нз абсолютно надежного элемента голосования. Найдены необходимые и достаточные условия на базис [img: http://localhost:8080/file/031501-216.jpg] при к-рых возможно построение сколь угодно надежных схем для всех булевых функций. 2) Построение метода синтеза минимальных (или в том или ином смысле близких к минимальным) схем, реализующих булевы функции, ненадежность к-рых не превосходит заданной величины [img: http://localhost:8080/file/031501-217.jpg]. Оказывается (напр., для предыдущего базиса с [img: http://localhost:8080/file/031501-218.jpg]), что можно построить метод синтеза схем, к-рый для большинства булевых функций и данного [img: http://localhost:8080/file/031501-219.jpg] дает асимптотически (по п)минимальные схемы. В частности, для функции Шеннона [img: http://localhost:8080/file/031501-220.jpg] выражающей ' минимальное число элементов из Б (см. пример выше), достаточное для реализации любой булевой функции от ппеременных с ненадежностью, не большей [img: http://localhost:8080/file/031501-221.jpg], получена асимптотика [img: http://localhost:8080/file/031501-222.jpg] II. Построение самокорректирующихся схем. Это направление наиболее полно изучено для двух классов у. с.- контактных схем и схем из функциональных элементов. Здесь источник неисправностей характеризуется ограничениями на число элементарных повреждений. Считается, что в пределах рассмотрений дальнейших изменений в схеме не происходит. Схема [img: http://localhost:8080/file/031501-223.jpg], реализующая функцию [img: http://localhost:8080/file/031501-224.jpg], наз. самокорректирующейся относительно данного источника неисправностей, если [img: http://localhost:8080/file/031501-225.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031501-226.jpg] Другими словами, самокорректирующаяся схема функционирует правильно, несмотря на воздействие источника неис [img: http://localhost:8080/file/031501-227.jpg] правностей. Напр., контактная схема на рис. 1, реализующая функцию [img: http://localhost:8080/file/031501-228.jpg] является самокорректирующейся относительно источника, вызывающего не более одного разрыва контакта. Основными задачами этого направления являются: 1) выяснение условий, при к-рых существуют самокорректирующиеся схемы, и 2) разработка методов синтеза минимальных (или в том или ином смысле близких к минимальным) самокорректирующихся схем. Ниже показано решение этих задач на примере контактных схем с источником неисправностей, вызывающим не более [img: http://localhost:8080/file/031501-229.jpg] замыканий и разрывов. Оказывается, что для любой булевой функции [img: http://localhost:8080/file/031501-230.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031501-231.jpg] можно построить самокорректирующуюся относительно этого источника неисправностей схему. Для этого достаточно взять любую контактную схему [img: http://localhost:8080/file/031501-232.jpg], реализующую [img: http://localhost:8080/file/031501-233.jpg], и в ней каждый контакт [img: http://localhost:8080/file/031501-234.jpg] заменить на подсхему, состоящую из [img: http://localhost:8080/file/031501-235.jpg] последовательно соединенных одинаковых блоков, каждый из к-рых является параллельным соединением [img: http://localhost:8080/file/031501-236.jpg] экземпляров данного контакта [img: http://localhost:8080/file/031501-237.jpg]. Такую схему наз. тривиальной самокорректирующейся схемой. Построенная самокорректирующаяся схема будет в [img: http://localhost:8080/file/031501-238.jpg] раз сложнее исходной. Предыдущий пример (рис. 1) показывает, что существуют и нетривиальные самокорректирующиеся схемы. Задача построения самокорректирующихся схем - специальная задача синтеза у. с. с дополнительными требованиями. Главный результат здесь состоит в том, что для большинс-тва булевых функций [img: http://localhost:8080/file/031501-239.jpg] можно построить самокорректирующуюся схему (относительно нек-рого класса источников), сложность к-рой асимптотически (при [img: http://localhost:8080/file/031501-240.jpg]) равна сложности минимальной схемы, реализующей f без требования самокоррекции. Здесь показано, что при нек-рых ограничениях на порядок роста [img: http://localhost:8080/file/031501-241.jpg] имеет место следующая асимптотика для функции Шеннона [img: http://localhost:8080/file/031501-242.jpg] III. Контроль управляющих систем. Это направление наиболее полно изучено для трех классов у. с: контактных схем, схем из функциональных элементов и автоматов. Рассмотрение проблем контроля у. с. предполагает: 1) наличие источника неисправностей, к-рый, совершив воздействие на у. с, в течение нек-рого промежутка удерживает неисправное состояние исходной у. с. и не производит других повреждений; 2) задание цели контроля. Последняя определяется как распознавание нек-рого свойства данной у. с. Напр., выяснение, является ли данная у. с. исправной или нет (задача о проверке), или, в случае, если у. с. неисправна, нахождение неисправности (задача о диагностике); 3) фиксацию средств контроля. Контроль может происходить либо без вмешательства в схему, либо допускается возможность вмешательства. Напр., замена элементов на эталонные, перестановка однотипных блоков, использование дополнительных контрольных точек в схеме и т. п. Средства контроля включают в себя также процедуру получения информации о контролируемом объекте. Ими являются эксперименты, к-рые делятся на безусловные и условные. В безусловных экспериментах последовательности, подаваемые на вход контролирующего устройства, определяются заранее и не зависят от последовательности на его выходе. В условных экспериментах каждый последующий символ входной последовательности может выбираться в зависимости от символов, появившихся на выходе в предшествующие моменты времени. Совокупность экспериментов, позволяющая распознать данное свойство, наз. тестом. Так как обычно существует много различных тестов, распознающих требуемое свойство, то на множестве тестов вводят меру сложности и ищут тест, имеющий минимальную сложность. Основная задача состоит здесь в том, чтобы для каждого свойства уметь строить минимальные или близкие к ним тесты. Эта задача является частью более общей проблемы - построения компактных алгоритмов распознавания тех или иных свойств. Проследим решение этих задач на примере контактных схем и схем из функциональных элементов для случая, когда нет вмешательства в схему. Исходным пунктом здесь являются функции неисправностей [img: http://localhost:8080/file/031501-243.jpg] схемы [img: http://localhost:8080/file/031501-244.jpg], реализующей [img: http://localhost:8080/file/031501-245.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/031501-246.jpg] При этом возможен случай [img: http://localhost:8080/file/031501-247.jpg] для нек-рых пар [img: http://localhost:8080/file/031501-248.jpg] что означа- ет неразличимость i- йи j- йнеисправностей. Таким образом, множество функций [img: http://localhost:8080/file/031501-249.jpg] разбивается на классы эквивалентности [img: http://localhost:8080/file/031501-250.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/031501-251.jpg] принадлежат одному классу тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031501-252.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031501-253.jpg] принадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/031501-254.jpg]. Неисправности, приводящие к функциям из одного класса, неразличимы. Классы [img: http://localhost:8080/file/031501-255.jpg] приводят к таблице функции неисправностей. Пример. Контактная схема (рис. 2) реализует функцию [img: http://localhost:8080/file/031501-256.jpg] источник помех вызывает не более одного разрыва. Здесь [img: http://localhost:8080/file/031501-257.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031501-258.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031501-259.jpg] Таким образом, имеем семь классов: [img: http://localhost:8080/file/031501-260.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031501-261.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031501-262.jpg] к-рые дают таблицу функций неисправностей (см. таблицу). Свойство, подлежащее распознаванию, обычно задают через подмножество [img: http://localhost:8080/file/031501-263.jpg] пар [img: http://localhost:8080/file/031501-264.jpg] но меров классов функций неисправностей, к-рые требуется отличать [img: http://localhost:8080/file/031501-265.jpg]. Если, напр., [img: http://localhost:8080/file/031501-266.jpg] то свойство выражает отличимость исправной схемы от любого неисправного состояния (задача проверки). Если [img: http://localhost:8080/file/031501-267.jpg] то требуется уметь отличать каждое состояние схемы от любого другого (задача о диагностике). Наконец, если [img: http://localhost:8080/file/031501-268.jpg] то имеют дело с задачей о диагностике "блока", т. е. с задачей выяснения, в какой части схемы находится поврежденный элемент. [img: http://localhost:8080/file/031501-269.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031501-270.jpg] - множество наборов, на к-рых определены функции [img: http://localhost:8080/file/031501-271.jpg]. Совокупность наборов [img: http://localhost:8080/file/031501-272.jpg] наз. тестом для данной таблицы функций неисправностей относительно подмножества [img: http://localhost:8080/file/031501-273.jpg], если для любой пары [img: http://localhost:8080/file/031501-274.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/031501-275.jpg] существует набор еиз Ттакой, что [img: http://localhost:8080/file/031501-276.jpg] Тест Тназ. минимальны м, если он содержит наименьшее число наборов. Тест Тназ. тупиковым, если при удалении любого набора е из Т получается подмножество наборов, не являющееся тестом. Множество [img: http://localhost:8080/file/031501-277.jpg] является тестом (тривиальным тестом). Минимальный тест является тупиковым. Проблема нахождения минимального теста связана с необходимостью сокращения времени контроля. Существует алгоритм для нахождения всех тупиковых (значит и минимальных) тестов. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031501-278.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031501-279.jpg] - множество всех наборов, на к-рых отличаются [img: http://localhost:8080/file/031501-280.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031501-281.jpg]. Если в выражении [img: http://localhost:8080/file/031501-282.jpg] совершить умножение по правилам булевой алгебры и затем удалить "поглощаемые" члены, пользуясь соотношением [img: http://localhost:8080/file/031501-283.jpg] то оставшиеся произведения будут соответствовать тупиковым тестам. Так, если для рассмотренного выше примера взять задачу проверки [img: http://localhost:8080/file/031501-284.jpg] то указанный алгоритм дает: [img: http://localhost:8080/file/031501-285.jpg] Имеется пять тупиковых тестов: T1={e1,e3,e5}, T2={e2,e4,e6}, T3={e1,e2,e4,e5}, T4={e1,e3,e4,e6}, T5={e2,e3,e5,e6}из к-рых [img: http://localhost:8080/file/031501-286.jpg] являются минимальными. Описанный алгоритм может быть применен для обнаружения ошибок при монтаже в соединениях элементов. Данный алгоритм с небольшими модификациями годится также для построения тупиковых кратных экспериментов для автоматов. Эффективность алгоритма построения тупиковых тестов резко падает с увеличением размеров таблицы функций неисправностей. Повышение эффективности связано с учетом строения таблицы, а также с учетом информации о структуре схемы. В этом направлении построена серия методов. Другие аспекты Н. и к. у. с. развиваются в рамках теории вероятностей.