Наилучшая квадратурная формула

оптимальная квадратурная формула,- формула приближенного интегрирования, обеспечивающая на заданном классе функций минимальную погрешность среди всех формул определенного типа. Пусть рассматривается квадратурная формула [img: http://localhost:8080/file/031502-27.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031502-28.jpg] - весовая функция. Остаток (погрешность) [img: http://localhost:8080/file/031502-29.jpg] зависит как от функции [img: http://localhost:8080/file/031502-30.jpg], так и от вектора [img: http://localhost:8080/file/031502-31.jpg] узлов [img: http://localhost:8080/file/031502-32.jpg] (обычно предполагается, что [img: http://localhost:8080/file/031502-33.jpg]) и коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/031502-34.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031502-35.jpg] При фиксированных [img: http://localhost:8080/file/031502-36.jpg] через Аобозначим нек-рое множество векторов ([img: http://localhost:8080/file/031502-37.jpg], [img: http://localhost:8080/file/031502-38.jpg]) (и, следовательно, квадратурных формул), определяемое теми или иными ограничениями на узлы и коэффициенты (в частности, можно рассматривать множество [img: http://localhost:8080/file/031502-39.jpg] коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/031502-40.jpg] при фиксированном векторе узлов [img: http://localhost:8080/file/031502-41.jpg]). Пусть [img: http://localhost:8080/file/031502-42.jpg] - нек-рый класс функций [img: http://localhost:8080/file/031502-43.jpg], причем предполагается, что для [img: http://localhost:8080/file/031502-44.jpg] интеграл и сумма в (*) имеют смысл. Н. к. ф. вида (*) для класса [img: http://localhost:8080/file/031502-45.jpg] относительно множества Аопределяется вектором [img: http://localhost:8080/file/031502-46.jpg] для к-рого [img: http://localhost:8080/file/031502-47.jpg] Задача отыскания Н. к. ф. тесно связана с нек-рыми задачами сплайн-аппроксимации;в ряде случаев она сводится к минимизации нормы моносплайна (см. [1]). Известны Н. к. ф. и соответствующие точные оценки остатка для многих важных классов непрерывных и дифференцируемых функций. С более общей точки зрения отыскание Н. к. ф. и доставляемой ею на классе [img: http://localhost:8080/file/031502-48.jpg] погрешности можно рассматривать как задачу оптимального восстановления функционала [img: http://localhost:8080/file/031502-49.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031502-50.jpg] по информации [img: http://localhost:8080/file/031502-51.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031502-52.jpg] Понятие Н. к. ф. естественным образом обобщается на случай функций многих переменных, т. с. на кубатурные формулы.